H Untergruppe von (Z,+)

24.11.2018, 14:01	Sekorita	Auf diesen Beitrag antworten »
H Untergruppe von (Z,+) Meine Frage: Ich soll folgendes beweisen: Sei H eine Untergruppe von (Z,+). Beweisen Sie, dass H = n0·Z fu¨r ein n0 ?N ist, wobei n 0 ·Z := {n ?Z : n0 teilt n}. Meine Ideen: Mein Ansatz ist, dass ich erstmal alles gegebene aufschreibe: H ist Teilmenge von G ( Z,+ habe ich mir als G definiert) G ist assoziativ und kommutativ G und H haben die gleiche additive Verknüfung H ist mit dieser Verknüfung abgeschlossen , assoziativ und es existiert ein Inverses und Neutrales Element ( Untergruppenkriterien.) Jedoch stehe ich jetzt aufm Schlauch, wie ich mit der Bewweisführung anfangen muss, weiles für mich logisch ist, dass eine natürliche Zahl( n0 aus N) multipliziert mit einer ganzen Zahl wieder eine ganze Zahl ist, oder was muss ich hier genau zeigen? Für Hilfe wäre ich sehr dankbar ist assoziativ und kommutativ und haben die gleiche additive Verknüfung ist mit dieser Verknüfung abgeschlossen , assoziativ und es existiert ein Inverses und Neutrales Element ( Untergruppenkriterien.) Jedoch stehe ich jetzt aufm Schlauch, wie ich mit der Bewweisführung anfangen muss, weiles für mich logisch ist, dass eine natürliche Zahl( aus multipliziert mit einer ganzen Zahl wieder eine ganze Zahl ist, oder was muss ich hier genau zeigen? Für Hilfe wäre ich sehr dankbar
24.11.2018, 14:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n_0\in \mathbb N\Rightarrow (n_0\mathbb Z,+)\le (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ hast du nach dem Untergruppenkriterium bewiesen. Das ist in Ordnung. Du sollst aber die Umkehrung beweisen: $\begin{eqnarray} (H,+) \le (\mathbb Z,+) \Rightarrow \exists n_0\in \mathbb N: (H,+)= (n_0\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$
24.11.2018, 14:25	Sekorita	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal die Fragezeichen sollten ein "aus" Zeichen sein Das ich n0 aus N nicht beweisen muss verstehe ich jetzt. Um das was du geschrieben hast in Worte zu fassen Aus der Tatsache, dass (H,+) kleiner gleich (Z,+) ist ( wegen Untergruppenkriterium oder?), folgt das ein n0 aus N existiert , für welches gilt (H,+) ust gleich (n0 mal Z,+) in wiefern ist die Bedingung n aus Z : n0 teilt n mit dadrinnen und kannst du mir das einmal für Dumme erklären was ich genau machen muss, stehe seit 2 Tagen auf dem Schlauch....
24.11.2018, 18:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (H,+)\le (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ heißt nicht, dass das linke Ding kleiner gleich das rechte Ding ist. In der Gruppentheorie bedeutet das $\begin{eqnarray} \le \end{eqnarray}$ -Zeichen, dass das linke Ding eine Untergruppe des rechten Dings ist. Wir setzen also voraus, dass $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eine additive Untergruppe der additiven Gruppe ganzer Zahlen ist. In dieser Voraussetzung ist von einer natürlichen Zahl $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ nicht die Rede, wir wissen nicht, ob $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl enthält und wenn es so sein sollte, wissen wir nichts über die Eigenschaften der natürlichen Zahlen in $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ und wir wissen nichts über das Verhältnis von natürlichen Zahlen in $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ , der Gruppe $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ und der Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Es könnte doch sein, dass die negativen ganzen Zahlen eine Untergruppe sind. Es könnte sein, dass die Primzahlen und ihre additive Inversen zusammen mit der $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ eine Gruppe sind, also $\begin{eqnarray} (H,+)=(\{...,-11,-7,-5,-3,-2,0,2,3,5,7,11,...\},+)\le (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ . Auch wenn wir beweisen können, dass diese beiden Beispiele keine Untergruppen der ganzen Zahlen sind, können wir unendlich viele Teilmengen in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ finden, und es ist im Leben nicht möglich zu beweisen, dass jede dieser Teilmengen nicht Untergruppe ist. Deine Aufgabe besteht nun darin, dass du für eine beliebig vorgegebene Teilmenge $\begin{eqnarray} H\subseteq \mathbb Z \end{eqnarray}$ , von der du nur weißt, dass $\begin{eqnarray} (H,+)\le(\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ eine Untergruppe der ganzen Zahlen ist, genau eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ finden musst - diese Zahl $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ wird sicher von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ abhängen - so dass $\begin{eqnarray} H=n_0\mathbb Z=\{n_0\cdot z\|z\in \mathbb Z\} \end{eqnarray}$ gilt. Es wird also behauptet, dass jede Untergruppe genau aus den ganzzahligen Vielfachen einer natürlichen Zahl besteht.
24.11.2018, 18:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, für Anfänger ist es richtig schwer zu verstehen, was da von ihnen erwartet wird. Vielleicht sollten wir Sekorita ein paar Hinweise geben. 1. Sonderfall vorweg behandeln: Zeige, daß $\begin{align} H = \{ 0 \} \end{align}$ eine Untergruppe ist. Was ist in diesem Fall $\begin{align} n_0 \end{align}$ ? 2. Jetzt sehen wir von dem Sonderfall $\begin{align} H = \{ 0 \} \end{align}$ ab. Damit enthält $\begin{align} H \end{align}$ Elemente $\begin{align} \neq 0 \end{align}$ . Begründe, warum $\begin{align} H \end{align}$ positive ganze Zahlen enthalten muß. 3. Wenn $\begin{align} H \end{align}$ positive Elemente enthält, muß es auch eine kleinste positive Zahl enthalten (warum eigentlich?). Diese nennen wir $\begin{align} n_0 \end{align}$ . Jetzt ist noch zu begründen, daß dieses $\begin{align} n_0 \end{align}$ das in der Aufgabe gesuchte ist. Hinweis: Division mit Rest.

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