Basisergänzungssatz

24.11.2018, 22:37	erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisergänzungssatz Hallo zusammen, nun befasse ich mich mit dem Basisergänzungssatz und sitze vor einer Aufgabe, die mir ein bisschen Kopfschmerzen beim Aufschreiben der Lösung bereitet. Vielleicht könntet ihr einmal drüber schauen und mir Tipps geben, an welchen Stellen noch Verbesserungsbedarf besteht. Vorab allen "Helferlein" ein herzliches Dankeschön. Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionaler $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray} U\subseteq V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ -dimensionaler Untervektorraum. Beweisen Sie mit dem Basisergänzungssatz, dass es eine Folge von Untervektorräumen $\begin{eqnarray} U=U_{r}\subsetneqq U_{r+1}\subsetneqq .. \subsetneqq U_{n}=V<br /> \end{eqnarray}$ gibt. Zeigen Sie zusätzlich, dass zwischen $\begin{eqnarray} U_{S},U_{S+1} \end{eqnarray}$ kein weiterer Untervektorraum $\begin{eqnarray} W\neq U_{S},U_{S+1} \end{eqnarray}$ existiert. Meine Idee: Wähle den größten Untervektorraum $\begin{eqnarray} U_{r}\subseteq V \end{eqnarray}$ und definiere eine Basis. Diese Basis wird dann solange iterativ ergänzt, bis die Länge der Basis $\begin{eqnarray} U_{n}=V \end{eqnarray}$ entspricht. Mein Lösungsansatz: Sei $\begin{eqnarray} V=K^{n} \end{eqnarray}$ ein n-dimensionaler Vektorraum (kurz VR). Weiterhin $\begin{eqnarray} U=U_{r}=\subseteq V \end{eqnarray}$ der größte Untervektorraum (kurz UVR). Angenommen $\begin{eqnarray} v_{1},v_{2},...,v_{n} \in V \end{eqnarray}$ bilden ein Erzeugendensystem. Dann bilden aus dem Erzeugendensystem $\begin{eqnarray} a_{1},a_{2},...,a_{r}, r\leq n \end{eqnarray}$ Vektoren eine Basis zu $\begin{eqnarray} U_{r} \end{eqnarray}$ [Ist an dieser Stelle zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind?] Wegen der Beziehung $\begin{eqnarray} U_{r}\subsetneqq U_{r+1} \Rightarrow u_{i}\in U_{r+1} \smallsetminus U_{r} \Rightarrow a_{1},a_{2},...,a_{n},u_{i}=a_{1},a_{2},...,a_{r},u_{r+1} \end{eqnarray}$ ist eine Basis von $\begin{eqnarray} U_{r+1} \end{eqnarray}$ An dieser Stelle müsste ich nun einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} b\in U_{r+1} \end{eqnarray}$ annehmen und prüfen, ob die Linearkombination der Basisvektoren linear unabhängig ist? Hätte ich an dieser Stelle nicht auch schon den zweiten Beweis gezeigt $\begin{eqnarray} W\neq U_{S},U_{S+1} \end{eqnarray}$ implizit gezeigt, weil mit der Dimensionsformel folgt $\begin{eqnarray} dim (U_{r})+dim(U_{r+1})-dim(U_{r}+U_{r+1})=dim(U_{r}\cap U_{r+1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r+(r+1)-(r+r+1)=2r+1-(2r+1)=0=0 \end{eqnarray}$ , also existiert kein weiterer UVR $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden UVR. Bin mir nicht sicher, ob ich hier etwas essentielles vergessen habe. Bin für Anregungen sehr aufgeschlossen... LG erstsemester
25.11.2018, 12:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch dieser Beweis hat Verbesserungspotential. Es mangelt an Struktur, Ordnung und Präzision. Vorschlag zum Aufbau und zum Inhalt: Basisergänzungssatz: (formuliere hier den Basisergänzungssatz vollständig und exakt, so dass du im Beweis darauf zugreifen kannst) Behauptung: (formuliere hier die Behauptung vollständig und exakt, so dass du im Beweis darauf zugreifen kannst) Beweis: (schreibe hier den Beweis für die Behauptung in logisch nachvollziehbarer Reihenfolge, so kurz und präzise wie möglich auf) qed. Tipp: Achte mal darauf, wie Beweise in Vorlesungen, Skripten und Büchern präsentiert werden. Alle Voraussetzungen und die Behauptungen müssen immer vollständig aufgeschrieben werden. Hilfssätze werden formuliert. Der Beweisanfang wird durch das Wort "Beweis" gekennzeichnet. Beweisteile werden als solche gekennzeichnet und enthalten eine fehlerfreie lesbare Mischung von Text und Formeln. Die Beweisteile stehen in einer logischen Reihenfolge. Ein Beweis darf keine Lücken haben. Ein Beweis wird durch qed abgeschlossen.
25.11.2018, 19:33	erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Passagen im S.Bosch und G.Fischer sind sehr kurz gehalten. S.Bosch z. Basisergänzungssatz: 1. Unabhängiges System $\begin{eqnarray} a_{1},a_{2},..,a_{r} \end{eqnarray}$ in einem K-Vektorraum V und 2. Erzeugendes System $\begin{eqnarray} b_{1},b_{2},..b_{m} \in V \end{eqnarray}$ 3. So lässt sich 1. mit Elementen aus 2. zu einer Basis von V ergänzen: $\begin{eqnarray} a_{1},a_{2},..a_{r},b_{r+1},b_{r+2},..,b_{m} \end{eqnarray}$ Allerdings glaube ich nicht, dass dies vollständig ist und mir bei der Beantwortung der Aufgabenstellung helfen wird.
25.11.2018, 21:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, wie man Mathematik aus einem Buch lernen kann, in dem so etwas als Satz bezeichnet wird. Du brauchst unbedingt bessere Quellen, sonst kommst du nie auf einen grünen Zweig. Wie gut sind die Vorlesungen, die du hörst? Hast du gute Mitschriften oder Skripten?

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