Nachweis Körper

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koerper09 Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis Körper
Hallo

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Sei F ein Körper. Zeige, dass die Menge F(x) der rationalen Funktionen über F ein Körper bzgl. der üblichen Summen und Produkte von Funktionen ist.

Meine Vorgehensweise wäre:

Assoziativität und Kommutativität bzgl. Addition und Multiplikation und eigentlich auch die Distributivität kurz und schnell durch das Argument abhaken, dass F ja ein Körper ist und demnach sämtliche Koeffzienten der Funktionen in F(x) den Körperaxiomen genügen (egal ob es nun Q,R,C etc. geht)
Oder muss/sollte man das ausführlicher darstellen ?

Konkret erwähnen würde ich danach dann die neutralen und inversen Elemente der Addition (Zählerpolynom a=Nullpolynom und -a/b) und Multiplikation (c=d für c/d und b/a) für ein beliebiges Element a/b bzw c/d aus F(x).

Ist das zu kurz gedacht oder passt das so von der Idee ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip passt das schon recht gut. Wie definierst du Funktionen und rationale Funktionen ? Das multiplikativ inverse Element von f(x)=x ist g(x)=1/x. Was machst du mit 1/x an der Stelle x=0 ?
koerper09 Auf diesen Beitrag antworten »

Rationale Funktionen sind Funktionen (also eindeutige Zuordnungen) der Form wobei a(x) und b(x) beliebige Polynome sind mit der Einschränkung .

Zitat:
Was machst du mit 1/x an der Stelle x=0 ?


Das heißt ich müsste für das multiplikativ Inverse zusätzlich noch fordern, dass für ein beliebiges und dem inversen Element in jedem Fall
für alle x aus F gelten muss, oder ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier nur um formale rationale Funktionen, also den Quotientenkörper des Polynomrings. Fragen nach Definitionslücken sind unerheblich, solange man keine Werte aus dem Grundkörper einsetzt, die rationalen Funktionen also als Abbildungen auffaßt. Und davon ist hier nirgendwo die Rede.
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