Funktionenschar

25.11.2018, 16:15

Spitznamee

Funktionenschar

Hi,
kann jemand bei folgender Aufgabe meinen Rechenweg überprüfen pls?

Gegeben sei die Funktionenschar fa(x) = 2ax^3 + (2-4a) wobei x und a Element der reellen Zahlen sind und a ungleich 0.

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) für a= -0,25.
Ergibt folgende Funktionsgleichung: f(x) -0,5x^3 + 3

Nullstellen: f(x) = 0 also 0 = -0,5x^3 + 3 umgestellt ergibt x^3 = 6 also x = dritte Wurzel aus 6
Extrema: f'(x) = 0 also -3/2x^2 = 0 also ist bei x = 0 ein Extremum.
Wendepunkte: f''(x) = 0 also -3x = 0 also ist bei x = 0 ein Wendepunkt

Aber jetzt wo ich darüber nachdenke kann das doch nicht sein oder, dass an einer Stelle sowohl ein Wendepunkt als auch ein Extremum ist, oder?
Weiß jemand wo mir hier ein Fehler unterlaufen ist?
Grüße,
Spitznamee

25.11.2018, 16:32

klauss

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RE: Funktionenschar

Zitat:

Aber jetzt wo ich darüber nachdenke kann das doch nicht sein oder, dass an einer Stelle sowohl ein Wendepunkt als auch ein Extremum ist, oder?

So ist es. Daher empfehle ich Dir, an die Aufgabe nochmal neu ranzugehen, nachdem Du Dich mit den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrem- und Wendepunkte vertraut gemacht hast. Die sind im Unterricht sicherlich behandelt worden.

25.11.2018, 16:55

Spitznamee

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RE: Funktionenschar
Kannst du mir sagen was an meiner Rechnung falsch ist? Die Bedingungen kenn ich ja.
Bei Extrema: f"-Kriterium ist die hinreichende Bedingung, und f'(x) = 0 die notwendige
Bei Wendepunkten: f"(x) = 0 notwendige, Vorzeichenwechselkriterium die hinreichende

25.11.2018, 17:17

klauss

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RE: Funktionenschar
Gut, nur dann hast Du die bekannten Bedingungen nicht ordnungsgemäß zu Ende geprüft, denn Deine Aussagen waren
f'(0) = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Extremum bei x = 0
f''(0) = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Wendepunkt bei x = 0
Links stehen aber jeweils nur die notwendigen Bedingungen, die noch nicht den Folgepfeil erlauben.
Insbesondere hätte Dir bei f''(0) = 0 auffallen müssen, dass für das angebliche Extremum das f''-Kriterium nicht erfüllt ist.

25.11.2018, 17:42

Spitznamee

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RE: Funktionenschar
Also gibt es kein Extremum? Weil f" ja 0 ist, und daher ist das weder ein Maximum noch ein Minimum, also gibt es kein Extremum?

25.11.2018, 18:04

klauss

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RE: Funktionenschar
Wenn $\begin{align*} f''(x_{0}) = 0 \end{align*}$ , dann heißt das zunächst, dass ein hinreichendes Kriterium für ein Extremum nicht erfüllt ist.
Es heißt jedoch im Umkehrschluß nicht, dass bei $\begin{align*} x_{0} \end{align*}$ kein Extremum vorliegt, denn $\begin{align*} f''(x_{0}) \neq 0 \end{align*}$ ist für ein Extremum nicht notwendig. Beispiel: $\begin{align*} f(x) = x^{4} \end{align*}$
Du mußt daher entweder zum hinreichenden Nachweis eines Extremums ein anderes Kriterium verwenden oder zum Ausschluß eines Extremums den hinreichenden Nachweis eines Wendepunkts erbringen.

25.11.2018, 20:34

Spitznamee

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RE: Funktionenschar
Ähm, sorry mir fällt grad auf, dass ich die Funktionenschar am Anfang falsch geselen hab'. Sie heißt eigentlich: fa(x) = 2ax^3 + (2-4a)*x also
fa(x) = 2ax^3 + 2x - 4ax

Dazu noch eine Frage: Für welches a hat fa im Hochpunkt die Steigung 6?
Meine Idee:
erstmal Ableitung bilden und null setzen, da kommt raus
fa'(x) = 6ax^2 +2 -4a = 0 dann geteilt durch 6, dann erhält man
fa'(x)= ax^2 + 1/3 -2/3a Meine Frage, was mache ich jetzt? Geteilt durch a? Aber dann entfällt es ja aus der Gleichung.

25.11.2018, 21:00

klauss

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RE: Funktionenschar
Löse
$\begin{eqnarray*} ax^{2}+\frac{1}{3} -\frac{2}{3}a=0 \end{eqnarray*}$
nach x auf, dann erhältst Du mögliche Extremstellen in Abhängigkeit von a.
Identifiziere einen Hochpunkt durch ein hinreichendes Kriterium unter Berücksichtigung des Wertebereichs von a.

Danach soll gelten
$\begin{eqnarray*} 6ax^{2}+2-4a=6 \end{eqnarray*}$
Setze nun für x die x-Koordinate eines gefundenen Hochpunkts ein und löse nach a auf.

25.11.2018, 22:30

Spitznamee

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RE: Funktionenschar
okay, wenn ich das umstelle kommt raus x^2 = -1/3/a + 2/3 also
ist x = Wurzel aus: -1/3/a + 2/3
Ist das richtig? Der Rest ist mir dann klar, x in die Ableitung, nach a umstellen.

26.11.2018, 09:16

klauss

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RE: Funktionenschar
Vorsicht: Grundsätzlich gibt es 2 Lösungen
$\begin{align*} x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}-\frac{1}{3a} } \end{align*}$
Da $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ wäre nun zunächst eine Fallunterscheidung fällig, für welche a überhaupt die Wurzel definiert ist, denn nur dann kann f'(x) tatsächlich 0 werden.
Dann muß f'(x) 2 verschiedene Nullstellen haben, damit f(x) Extrempunkte haben kann, d. h. für
$\begin{align*} \sqrt{\frac{2}{3}-\frac{1}{3a} }=0 \end{align*}$
hat f'(x) eine doppelte Nullstelle und f(x) keinen Extrempunkt.
Da ein Hochpunkt gesucht ist, muß weiter in Abhängigkeit des Wertebereichs von a untersucht werden, welcher von 2 Extrempunkten ein Maximum ist.
Und wenn man nach all dem letztlich diese Wurzel in f'(x) einsetzt, kommt auch nicht grad eine schöne Gleichung heraus.
Also wenn Du nicht noch irgendeine Zusatzinformation verschwiegen hast, scheint mir diese Aufgabe bei vollständiger Analyse ganz schön auszuufern ...

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