Konvergenzgebiet Laurentreihe

25.11.2018, 16:55	lissy0810	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzgebiet Laurentreihe $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2-z} \end{eqnarray}$ Ich soll die Laurentreihe berechnen. Mir ist noch nicht ganz so klar, wie da rangehe. Mit Partialbruchzerlegung komme ich auf $\begin{eqnarray} \frac{-1}{z}+\frac{1}{z-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-1}{z} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} -\sum\limits_{k=0}^{\infty } (1-z)^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{z-1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} -\sum\limits_{k=0}^{\infty } z^k \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht, ob das richtig ist. Des weiteren ist gegeben 1<\|z-2\|<2 und ich weiß überhaupt nicht, was mir das letztendlich sagt. Ich hoffe auf Hilfe. Liebe Grüße
25.11.2018, 17:19	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgebiet Laurentreihe Hallo, die fragliche Angabe bedeutet: Du sollst eine Laurentreihe mit Entwicklungspunkt 2 aufstellen, die in dem Ringgebiet $\begin{eqnarray} 1<\|z-2\|<2 \end{eqnarray}$ konvergiert - am besten machst Du mal eine Skizze und schaust in Deinem Skript nach, dass das eine typisches Konvergenzgebiet für Laurent-Reihen ist. Dein LReihe muss dann also mit Potenzen von $\begin{eqnarray} (z-2) \end{eqnarray}$ gebildet werden. Ich finde es da hilfreich, die Substitution z-2=w zu machen und h(w)=f(z)=f(2+w) nach Potenzen von w zu entwickeln. Dafür wäre dann zunächst eine Partialbruchzerlegung sinnvoll .... Gruß pwm
25.11.2018, 18:24	lissy0810	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgebiet Laurentreihe Danke für den Tipp, allerdings weiß ich wirklich nicht, wie es geht. Ich habe jetzt 2+w eingesetzt und komme dadurch aber auch nicht weiter. $\begin{eqnarray} \frac{-1}{2+w}+\frac{1}{1+w} \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht, was ich hier machen soll/worauf das hinaus läuft.
25.11.2018, 18:43	lissy0810	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ich habe eine Idee, moment
25.11.2018, 18:56	lissy0810	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir einfach nicht sicher. Mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+w} \end{eqnarray}$ habe ich jetzt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^k w^k \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^k (z-2)^k \end{eqnarray}$ Könnte das stimmen?! ABer dann hänge ich beim zweiten Bruch, da steht dann im Nenner eine 3, die ich nicht wegbekomme.
25.11.2018, 20:19	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es läuft hier auf die Verwendung der geometrischen Reihe hinaus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-q}=\sum_{k=0}^{\infty} q^k \end{eqnarray}$
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25.11.2018, 20:24	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Uups, hatte auf den falschen Button gedrückt. Hier geht es weiter: Bedingung ist: $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ . In Deinem Fall ist ja $\begin{eqnarray} 1<\|w\|<2 \end{eqnarray}$ . Also geht es so, wie Du geschrieben hast nicht. Du musst den Bruch mit w kürzen und die Reihefür $\begin{eqnarray} q=-\frac{1}{w} \end{eqnarray}$ anwenden. Bei dem anderen Bruch musst Du 2 kürzen und die Reihe für $\begin{eqnarray} q=-\frac{w}{2} \end{eqnarray}$ anwenden. Gruß pwm

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