Extremalproblem

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Spitznamee Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalproblem
Hi,
hat jemand ne Ahnung wie man das rechnet?
Zwischen Ursprung und Graph der Funktion f(x) = 1 + 4/x^2 ist ein achsenparalleles Rechteck eingesperrt. Eine Ecke des Rechtecks ist der Ursprung, die gegenüberliegende Ecke P liegt auf dem Graphen von f. Wie müssen die Koordinaten von P gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Rechtecks minimal wird?
Bitte bitte ich schreib morgen ne Klausur, brauche schnell ne Antwort:

Hauptbedingung weiß ich ja: A = a * b
aber Nebenebedingung nicht und was ich dann überhaupt machen soll
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RE: Extremalproblem
Mach dir eine Skizze, zeichne a und b ein und finde den Punkt (a,b)
 
 
Spitznamee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem
Wie komme ich auf die Nebenbedingung?
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RE: Extremalproblem
Wenn du getan hättest, was ich sagte, wäre dir aufgefallen, dass der Punkt (a,b) (bzw. (b,a), je nach deiner Skizze) auf dem Graphen liegt. Das liefert eine Beziehung zwischen a und b die du direkt in die Hauptbedingung einsetzen kannst.
Spitznamee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem
Oke also ich hab das jetzt folgendermaßen gerechnet:
Nebenbedingung: y = 1 + 4/x^2 einsetzen in die Hauptbedingung A(x,y) = x* y
kommt raus A(x) = x * (1+ 4/x^2) ausmultipliziert ergibt das A(x) = x+ 4/x das ist die Zielfunktion.
Um das Extremum zu bekommen setze ich die Ableitung null, also 0 = 1 - 4x^-2 wenn man das nach x auflöst kommt x^2 = 4 raus, also x1 = 2 und x2 = -2
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RE: Extremalproblem
und warum kommt x2 = -2 nicht in Frage?
Spitznamee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem
Einer der Werte ist das Maximum und der andere das Minimum also muss einer von denen entfallen. Dafür müsste man die zweite Ableitung bilden, und da beide Werte einsetzen. Wenn da was positives rauskommt ist dass der Tiefpunkt, wenn was negatives rauskommt dann der Hochpunkt, und dann nimmt man entsprechend den Hochpunkt.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem
Weshalb soll die Lösung -2 nicht in Frage kommen ?

Auch zu diesem x-Wert gibt es ein Rechteck, dessen Flächeninhalt identisch ist mit demjenigen zum Wert x = +2 .

Genau genommen müsste man als Zielfunktion nämlich nicht A(x,y) = x*y nehmen, sondern A(x,y) = |x| * |y| = | x * y | !
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RE: Extremalproblem
A(-2)<0 und wir reden hier über einen Flächeninhalt.
Dir fehlte also die Nebenbedingung x>0.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem
Die Nebenbedingung x>0 ist überflüssig bzw. an den Haaren herbeigezogen !
Aber man sollte die Zielgröße (also den Flächeninhalt A) so definieren, dass sie wirklich positiv wird, wo auch immer das Rechteck in Bezug auf das Koordinatensystem liegt.
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RE: Extremalproblem
@rumar: Du bist ja drollig. Die Nebenbedingung kann natürlich überflüssig sein, wenn man eine andere Zielfunktion verwendet. Aber hier war die Zielfunktion eben so wie sie war.
Spitznamee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem
Okay also zusammengefasst entfällt x = -2 weil es keine negativen Seitenlängen gibt, richtig?
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RE: Extremalproblem
Freude
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem
Nein. Da wurde eben eine falsche Zielfunktion angegeben.

Die korrekte Zielfunktion (gemäß dem Brauch, dass Rechtecksinhalte definitionsgemäß positiv sein sollen), wäre eben:

A(x,y) = |x| * (1 + 4 / x^2)
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RE: Extremalproblem
Wenn du meinst. Und die Betragsfunktion kann man auch prima differenzieren. unglücklich
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem
Ja, ich meine das definitiv.

Und zur Ableitung der Betragsfunktion:

abs(x) = |x|

abs'(x) = sgn(x)
(für alle x mit )

Man kann aber auch mit einer simplen Fallunterscheidung (nach dem Vorzeichen von x) arbeiten.
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RE: Extremalproblem
Und jetzt hast du eine andere Zielfunktion mit der zusätzlichen Bedingung , weil du dort nicht differenzieren kannst. Erste Sahne.
Wenn schon, dann würde ich die ursprüngliche Zielfunktion quadrieren. Aber das ist nur meine Idee.
Aber mach was du willst. Ich bin hier weg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde hier von vorneherein voraussetzen und ansonsten mit der Symmetrie des Graphen argumentieren. Natürlich kann man auch mit



arbeiten. Diese Funktion ist auch in ihrem gesamten Definitionsgebiet differenzierbar. Aber dieses Wissen ist nutzlos, da der Definitionsbereich kein Intervall ist und somit die bekannten Kriterien zur Bestimmung von Extrema nicht angewandt werden können. Also bleibt einem zu guter Letzt doch wieder nur die Fallunterscheidung in oder . Und dann kann man auch gleich die Sache mit Hilfe der Symmetrie erledigen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde einfach im ersten Quadranten
im ersten Satz einbauen.

Man soll in der Schule korrekt sein ohne deshalb pingelig zu werden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Aufgabe sogar ganz ohne Differentialrechnung lösen. Ich setze voraus. Dann ist



Wegen des Quadrats wird das Minimum angenommen, wenn der Klammerinhalt 0 ist:

Nun ja - nur zum Spaß und zur allgemeinen Erheiterung ...
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das Verfahren hat den unheimlichen Nachteil, dass die Nebenbedingung aufgelöst und in die Hauptbedinung eingesetzt werden muss, was manchmal nicht möglich ist.

Der erwachsene Mathematiker macht das wie folgt. Die Nebenbedingung zunächst von hässlichen Bruchtermen befreien:

und alle Summanden auf eine Seite bringen:

Damit ergeben sich die Bedingungen



Ableitungen ausrechnen:



Äußeres Produkt ausrechnen:


Die Determinante ergibt:


Äußeres Produkt null setzen:

So, ist offenbar verboten, weil in der ursprünglichen Nebenbedingung durch geteilt wird.

Dann muss sein. Nun noch die Gleichung lösen, meinetwegen mit irgendeinem numerischen Verfahren. Das ergibt hier die quadratische Gleichung . Wenn man voraussetzt, muss also sein.
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