Eine weitere Ungleichung

26.11.2018, 09:35	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere Ungleichung Liebes Forum, vor etwa einer Woche hatte ich Probleme, eine Ungleichung zu zeigen und hier wurde mir super weitergeholfen. Nun stehe ich schon wieder vor einem Problem. Zu zeigen ist für alle $\begin{eqnarray} t\ge 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta\in \left(\frac 1 2, 1\right] \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} <br /> (1+t)^\beta - \beta t (1+\beta t)^{\beta -1} -1 \ge 0.<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf $\begin{eqnarray} t\mapsto (1+t)^\beta \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t\mapsto (1+\beta t)^\beta \end{eqnarray}$ anwende, erhalte ich durch einfache Abschätzungen $\begin{eqnarray} (1+t)^\beta - \beta t (1+t)^{\beta-1} -1 \ge 0 \end{eqnarray}$ respektive $\begin{eqnarray} (1+t)^\beta - \beta^2 t (1+\beta t)^{\beta-1} -1 \ge 0 \end{eqnarray}$ . Das sieht beides so ähnlich aus, wie das zu Zeigende, aber eben nur fast. Bisher wurde nicht verwendet, dass $\begin{eqnarray} \beta > \frac 1 2 \end{eqnarray}$ gilt. Kann mir hier jemand weiterhelfen? Freundliche Grüße daLoisl
26.11.2018, 10:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f(t) := (1+t)^{\beta} - \beta t (1+\beta t)^{\beta-1} -1 \end{eqnarray}$ . Dass die Aussage für $\begin{eqnarray} \beta<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ falsch ist, folgt ziemlich leicht durch Betrachtung $\begin{eqnarray} t\to 0 \end{eqnarray}$ im Zusammenhang mit der Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray} f(t) = 1+\beta t + \frac{\beta(\beta-1)}{2}t^2 + O(t^3) - \beta t - \beta^2(\beta-1) t^2 + O(t^3)-1 = -\frac{\beta(1-\beta)(1-2\beta)}{2} t^2 + O(t^3) \end{eqnarray}$ , das bedeutet nämlich $\begin{eqnarray} f(t)<0 \end{eqnarray}$ für genügend klein gewähltes positives $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . Der allgemeine Nachweis (so die Aussage denn überhaupt stimmt, was ich mangels Gegenbeispiel aber erstmal nicht beweifeln will) scheint aber ziemlich knifflig zu sein. Auf alle Fälle wird er von dem $\begin{eqnarray} \beta\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Gebrauch machen müssen. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EDIT: Ich habs, ist aber wirklich ziemlich knifflig: Es ist $\begin{eqnarray} f'(t) = \beta (1+t)^{\beta-1} - \beta (1+\beta t)^{\beta-1} - \beta^2(\beta-1) t (1+\beta t)^{\beta-2} = \beta \left[ (1+t)^{\beta-1} - (1+\beta t)^{\beta-1}\right] + \beta^2(1-\beta) t (1+\beta t)^{\beta-2}\qquad () \end{eqnarray}$ . Jetzt wenden wir den Mittelwertsatz auf die Hilfsfunktion $\begin{eqnarray} g(x)=(1+x)^{\beta-1} \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [\beta t,t] \end{eqnarray}$ an, d.h., es existiert ein $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta t\leq \xi\leq t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(t)-g(\beta t) = (t-\beta t)g'(\xi) = (1-\beta)tg'(\xi) \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} g'(x)=-(1-\beta)(1+x)^{\beta-2} \end{eqnarray}$ folgt damit nun $\begin{eqnarray} (1+t)^{\beta-1} - (1+\beta t)^{\beta-1} = -(1-\beta)^2t (1+\xi)^{\beta-2} \stackrel{!}{\geq} -(1-\beta)^2t (1+\beta t)^{\beta-2}\qquad (*) \end{eqnarray}$ , letzteres wegen $\begin{eqnarray} \xi\geq \beta t \end{eqnarray}$ . Nun (*) in () einsetzen ergibt $\begin{eqnarray} f'(t) \geq \beta(1-\beta)(2\beta-1) t (1+\beta t)^{\beta-2} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Zusammen mit Startwert $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ folgt daraus auch $\begin{eqnarray} f(t)\geq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t\geq 0 \end{eqnarray}$ . P.S.: Wäre schön, wenn das jemand "entkrampfen" könnte, d.h., eine weniger verwurstelte Variante findet.
26.11.2018, 15:08	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das sieht echt gut aus. Ich finde den Beweis eigentlich sogar recht elegant, so wie er jetzt dasteht.
26.11.2018, 15:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mag sein, ist erstmal nicht schlecht, eine Lösung gefunden zu haben. Aber so wie Leopold hier ausgeführt hat, sollte man möglichst Umwege einsparen. Hier etwa könnte ich mir vorstellen, dass der Umweg über die Ableitung vielleicht gar nicht sein muss, dass etwa der Mittelwertsatz direkt auf eine bestimmte Funktion angewandt bereits die Lösung bringt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »