u Element aus Spannraum

27.11.2018, 10:40

FelixRTU

u Element aus Spannraum

Meine Frage:
V Vektorraum über R und u, v seien linear unabhängige Vektoren aus V. T:= {u+2v,2u+v}. Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} u \in Span(T) \end{eqnarray*}$ gilt und stellen Sie falls möglich u als Linearkombination der Elemente von T dar.
Bestimmen Sie die Dimension von Span(T).

Meine Ideen:
u und v sind ja linear unabhänging, weshalb sie auch eine Basis von R bilden. Jetzt ist die Frage ob T auch eine Basis ist oder ob u+2v und 2u+v die Vektoren derart verändert das es keine mehr ist.

Wenn es eine Basis wäre, könnte ich ja einfach schreiben: $\begin{eqnarray*} u=c_{1}(u+2v)+c_{2}(2u+v) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c_{1},c_{2} \in R \end{eqnarray*}$

27.11.2018, 10:55

klarsoweit

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RE: u Element aus Spannraum

Zitat:

Original von FelixRTU
u und v sind ja linear unabhänging, weshalb sie auch eine Basis von R bilden.

Nein. R ist der Körper und wie der Vektorraum V aussieht, ist nicht bekannt.

Zitat:

Original von FelixRTU
Wenn es eine Basis wäre, könnte ich ja einfach schreiben: $\begin{eqnarray*} u=c_{1}(u+2v)+c_{2}(2u+v) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c_{1},c_{2} \in R \end{eqnarray*}$

Stelle die Gleichung so um, daß auf einer Seite der Nullvektor steht und du die Linearfaktoren von u und v ablesen kannst.

27.11.2018, 11:39

FelixRTU

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RE: u Element aus Spannraum
Nur zum Verständniss, könnte ich sagen das u,v eine Basis von V bilden?

$\begin{eqnarray*} 0_{v} = c_{1}(u+2v)+c_{2}(2u+v) -u \end{eqnarray*}$

Entweder falsch, oder es gibt eine Lsg. verwirrt

27.11.2018, 11:45

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RE: u Element aus Spannraum

Zitat:

Original von FelixRTU
Nur zum Verständniss, könnte ich sagen das u,v eine Basis von V bilden?

Davon steht nichts in der Aufgabe, also kannst du das auch nicht sagen. Außerdem würde das auch nichts bringen.

Zitat:

Original von FelixRTU
$\begin{eqnarray*} 0_{v} = c_{1}(u+2v)+c_{2}(2u+v) -u \end{eqnarray*}$

Wie ich schon sagte, brauchst du die Linearfaktoren von u und v. Du mußt das also noch in die Form $\begin{eqnarray*} 0_{V} = \lambda_1 \cdot u + \lambda_2 \cdot v \end{eqnarray*}$ bringen.

27.11.2018, 12:06

FelixRTU

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RE: u Element aus Spannraum
So?

$\begin{eqnarray*} c_{1}u+c_{1}2v+c_{2}2u + c_{2}v-u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (c_{1}+2c_{2}-1)u+(2c_{1}+c_{2})v \end{eqnarray*}$

Ich komme aber zum dem Schluss, dass es keine Lsg gibt.

$\begin{eqnarray*} c_{1}+2c_{2}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2c_{1}+c_{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.11.2018, 12:36

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RE: u Element aus Spannraum

Zitat:

Original von FelixRTU
Ich komme aber zum dem Schluss, dass es keine Lsg gibt.

Und woraus ziehst du diesen Schluß? verwirrt

27.11.2018, 12:59

FelixRTU

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RE: u Element aus Spannraum
Ich hätte evtl. mal weiterrechnen sollen Hammer

nach der Umformung in ZSF komme ich auf $\begin{eqnarray*} c_{1}=-1/3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{2}=2/3 \end{eqnarray*}$

und da span(T) linear unabhängig ist (durch die ZSF gezeigt) , ist dim(span(T))=2. richtig?

27.11.2018, 13:05

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RE: u Element aus Spannraum

Zitat:

Original von FelixRTU
und da span(T) linear unabhängig ist

Du wirfst hier mit Begriffen um dich, das ist einfach nur grauslich. unglücklich

Die Vektoren (Elemente) eines spans sind immer linear abhängig.

Zitat:

Original von FelixRTU
ist dim(span(T))=2. richtig?

Das mag sein, beantwortet aber nicht die Frage, ob u ein Element von span(T) ist.

27.11.2018, 13:22

FelixRTU

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RE: u Element aus Spannraum
Das Letztere war zur Aufgabe 2.

Habe ich nicht durch die Werte $\begin{eqnarray*} c_{1},c_{2} \end{eqnarray*}$ nachgewiesen, dass u in span(T) liegt? Denn wenn ich $\begin{eqnarray*} -1/3*(u+2v)+2/3(2u+v)=u \end{eqnarray*}$ rechne, kommt ja wieder u raus.

27.11.2018, 13:38

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RE: u Element aus Spannraum

Zitat:

Original von FelixRTU
Das Letztere war zur Aufgabe 2.

OK.

Zitat:

Original von FelixRTU
Habe ich nicht durch die Werte $\begin{eqnarray*} c_{1},c_{2} \end{eqnarray*}$ nachgewiesen, dass u in span(T) liegt? Denn wenn ich $\begin{eqnarray*} -1/3*(u+2v)+2/3(2u+v)=u \end{eqnarray*}$ rechne, kommt ja wieder u raus.

Genau dieser abschließende Satz hat mir gefehlt. smile

27.11.2018, 13:43

FelixRTU

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RE: u Element aus Spannraum
Danke für die Hilfe :-)

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