Fibonacci-Folge

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yannik0103 Auf diesen Beitrag antworten »
Fibonacci-Folge
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Gegeben ist die Dreitermrekursion mit Startwerten und . Bestimmen Sie und

Meine Ideen:
Ich habe leider keinen richtigen Ansatz, da ich nicht sehe wie ich die Brüche vereinfachen soll. Mein erster Ansatz war der goldene Schnitt, doch der ist der Grenzwert des Kehrwerts.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das íst die Fibonacci-Folge, für die kann man die Formel_von_Moivre/Binet nachweisen und damit dann den gesuchten Grenzwert bestimmen.
 
 
yannik0103 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe die Formel zu vereinfacht, aber wie kann ich jetzt den Grenzwert bestimmen?
yannik0103 Auf diesen Beitrag antworten »

Unten muss im Exponenten n+1 stehen, habe mich vertippt. Und vor dem limes muss dementsprechend auch 2 stehen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja was wohl: In Zähler und Nenner den dominanten Faktor ausklammern und dann kürzen, das ist doch Standardvorgehen!



basierend auf , für die gilt .

Zähler und Nenner im übrig bleibenden Bruch rechts konvergieren jeweils gegen 1, also auch der Quotient.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Existenz der Grenzwerte und für die beiden Bruchfolgen vorausgesetzt, kann man sie auch direkt aus der Rekursionformel erhalten. Man dividiert durch das mittlere Glied: , und erhält für daraus



Da die Folgenglieder positiv sind, ist die positive Lösung der hieraus abgeleiteten quadratischen Gleichung der gesuchte Grenzwert .

Ähnlich findet man dann auch

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Die Existenz der Grenzwerte und für die beiden Bruchfolgen vorausgesetzt

Ein gewaltiger Haken an der Sache, und der Grund dafür, warum ich diesen Vorschlag nicht gemacht habe. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Man bekommt damit





Und iterativ endet das bei




EDIT

Es gibt viele höchst elegante Verfahren, die Formel von Binet herzuleiten. Die meisten sind aber dem Anfänger nicht unmittelbar zugänglich. Wenn man die Rechnung oben noch etwas verfeinert, kann man "zu Fuß" zu dieser Formel kommen.

Rechnet man ohne Beträge, erhält man



Man löst das nach dem Glied mit der höheren Nummer auf und erhält nach Umnummerierung



Damit ist die Rekursionstiefe schon einmal um einen Schritt verringert. Und jetzt muß man das eigentlich nur immer wieder iterativ auf die nächstkleinere Nummer anwenden:











Das Ganze endet schließlich bei





Damit gilt





Außer Konzentration, richtig zählen und der Formel für eine geometrische Summe braucht man nichts Weiteres für diesen Weg. Und wenn ich mich beim Rückwärtsrechnen nicht irgendwo verzählt habe, dann stimmt das sogar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es so ausartet, dann kann man auch gleich folgendes sagen:

Betrachten wir allgemein eine Differenzengleichung zweiten Grades mit der Eigenschaft, dass für die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung die Ungleichung gelten möge. Dann haben alle Lösungen dieser Gleichung die Gestalt mit Konstanten , die sich aus den Anfangsbedingungen ergeben. Kann man zudem nachweisen, so folgt unmittelbar .

Im vorliegenden Fall ist und . Aus würde folgen, was für die Fibonaccifolge sicher nicht stimmt, daher ist hier und somit .
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