Radius bei 3 speziellen Punkten

27.11.2018, 17:25

Dopap

Radius bei 3 speziellen Punkten

3 Umfangspunkte R,S und T eines Kreises haben die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} R(a,0) \quad S(a,b)\quad T(0,-c) \quad \text{mit} \quad a,b,c >0 \end{eqnarray*}$

gesucht ist der Radius r als Term in a,b,c

Stecke fest. Irgend etwas fehlt noch.

27.11.2018, 18:07

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Radius bei 3 speziellen Punkten
beachte den Titel Augenzwinkern

27.11.2018, 19:06

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das Problem auch rein analytisch angehen. Setze die Koordinaten aller drei Punkte in die allgemeine Kreisgleichung ein:

$\begin{eqnarray*} (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------

$\begin{eqnarray*} (a - m)^2 + n^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a - m)^2 + (b - n)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m^2 + (- c - n)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------

Das durch Subtraktion jeweils zweier Gleichungen erhaltene lineare Gleichungssystem ist nach m, n zu lösen, anschließend ergibt sich r.

Man hat also nicht nur den Radius, sondern auch gleich den Mittelpunkt.

mY+

27.11.2018, 22:52

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ich wollte geometrisch sein habe aber leider das Problem mangels Zeichnung in Koordinaten beschrieben.

[attach]48414[/attach]

Das Wesentliche dürfte obigem Meisterwerk zu entnehmen sein.
Gibt es noch etwas zwischen der Sehne a + d und der senkrechten Sehne c+b+c
um d in a,b,c darzustellen?
Dann könnte man Sehne b und Sehne a+d und Durchmesser 2r mit dem Pythagoras bearbeiten.

27.11.2018, 23:25

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

wo ist der Unterschied verwirrt

mit r wie oben

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{4r^2-b^2}-a \end{eqnarray*}$

28.11.2018, 13:15

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

kein Unterschied, die Skizze von mir entspricht dem Original nur habe ich es in Koordinaten übersetzt da eine Bildbeschreibung ziemlich schwierig ist.
( ... und biege dann irgendwo im Kreis rechtwinklig nach oben bis zum Kreisrand ab ... )
Analytische Berechnung war die Folge.

wenn ich nun dein $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{4r^2-b^2} -a \end{eqnarray*}$ in den Pythagoras $\begin{eqnarray*} (2r)^2=(a+d)^2 +b^2 \end{eqnarray*}$ einsetze habe ich nichts gewonnen.

das d sollte ich woanders herbekommen.

28.11.2018, 13:42

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
kein Unterschied, die Skizze von mir entspricht dem Original nur habe ich es in Koordinaten übersetzt da eine Bildbeschreibung ziemlich schwierig ist.
( ... und biege dann irgendwo im Kreis rechtwinklig nach oben bis zum Kreisrand ab ... )
Analytische Berechnung war die Folge.

wenn ich nun dein $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{4r^2-b^2} -a \end{eqnarray*}$ in den Pythagoras $\begin{eqnarray*} (2r)^2=(a+d)^2 +b^2 \end{eqnarray*}$ einsetze habe ich nichts gewonnen.

das d sollte ich woanders herbekommen.

wenn du nun einmal verraten würdest, was genau gegeben ist und was du suchst???

28.11.2018, 14:29

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist $\begin{align*} M \end{align*}$ der Umkreismittelpunkt des Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ , so gilt für die Ortsvektoren $\begin{align*} \vec{m},\vec{a},\vec{b},\vec{c} \end{align*}$ der Punkte

$\begin{align*} \vec{m} = \frac{1}{2 \left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]} \cdot \left( \ \left( \left| \vec{b} \right|^2 - \left| \vec{c} \right|^2 \right) \vec{a}^{\bot} \ + \ \left( \left| \vec{c} \right|^2 - \left| \vec{a} \right|^2 \right) \vec{b}^{\bot} \ + \ \left( \left| \vec{a} \right|^2 - \left| \vec{b} \right|^2 \right) \vec{c}^{\bot} \ \right) \end{align*}$

Hierbei ist für $\begin{align*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{align*}$ der Vektor $\begin{align*} \vec{x}^{\bot} \end{align*}$ durch eine 90°-Linksdrehung definiert, also $\begin{align*} \vec{x}^{\bot} = \begin{pmatrix} -x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} \end{align*}$ .

Ferner ist $\begin{align*} \left[ \vec{a},\vec{b},\vec{c} \right] = \det \left( \vec{a} - \vec{c} \, , \, \vec{b} - \vec{c} \right) = \det \left( \vec{a} , \vec{b} \right) + \det \left( \vec{b} , \vec{c} \right) + \det \left( \vec{c} , \vec{a} \right) \end{align*}$ .

Den Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ des Umkreises erhält man mittels

$\begin{align*} r = \frac{\left| \vec{a} - \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{b} - \vec{c} \right| \cdot \left| \vec{c} - \vec{a} \right|}{2 \left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]} \end{align*}$

(Max Koecher, Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer 1983)

Dabei frage ich mich, ob die letzte Formel so stimmen kann, denn der Nenner kann offenbar auch negativ ausfallen. Vielleicht fehlen ja nur die Betragsstriche.

28.11.2018, 20:55

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

einfach klasse Leopold, Determinanten haben mir noch gefehlt! Augenzwinkern

Prinzipiell hat Werner das ja mit der Software gelöst und mYthos klar den analytischen Weg vorgegeben..

mir liegt nur ein 2 x rechtwinklig geknickter abgebrochener Zollstock vor, bei dem ein Kreis durch die Enden und eine Ecke geht.

melde mich evtl. wieder...

28.11.2018, 21:31

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
einfach klasse Leopold, Determinanten haben mir noch gefehlt! Augenzwinkern

ich habe das natürlich nicht mit Software gelöst, die sollte dir nur meinen Weg aufzeigen unglücklich

noch einmal zu meiner Frage.
sind gegeben a, b und c
und gesucht r und d verwirrt

dann steht r in meinem 1. Beitrag und d im 2.
aber was soll´s

29.11.2018, 23:12

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Radius bei 3 speziellen Punkten

Zitat:

Original von Dopap
[...]
gesucht ist der Radius r als Term in a,b,c

Stecke fest. Irgend etwas fehlt noch.

da bin ich nun mit dem Sehnensatz fündig geworden:

Sehnensatz: $\begin{eqnarray*} a\cdotp d=c\cdotp (b+c) \quad \Rightarrow \quad d =\frac {c\cdotp (b+c)}{a} \end{eqnarray*}$ eingesetzt in den
Pythagoras: $\begin{eqnarray*} (2r)^2=b^2+(a+d)^2 \quad \Rightarrow \quad r=\sqrt{\frac {b^2+\left(a+\frac {c\cdotp (b+c)}{a}\right)^2}{4}}= \end{eqnarray*}$

01.12.2018, 11:26

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

von Verschönern war zwar nicht die Rede, trotzdem:

$\begin{eqnarray*} r=\frac {\sqrt{(a^2+b^2+2bc+c^2)(a^2+c^2)}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ , denn sonst wäre nur eine einzelne Sehne vorhanden
und sinnvollerweise sollte auch $\begin{eqnarray*} b+c >0 \end{eqnarray*}$ sein.

01.12.2018, 12:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} r=\frac {\sqrt{(a^2+b^2+2bc+c^2)(a^2+c^2)}}{2a} \end{eqnarray*}$

... was natürlich in leichter algebraischer Variation riwe schon vor langer Zeit geschrieben hat

01.12.2018, 12:11

werner

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
von Verschönern war zwar nicht die Rede, trotzdem:

$\begin{eqnarray*} r=\frac {\sqrt{(a^2+b^2+2bc+c^2)(a^2+c^2)}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ , denn sonst wäre nur eine einzelne Sehne vorhanden
und sinnvollerweise sollte auch $\begin{eqnarray*} b+c >0 \end{eqnarray*}$ sein.

und wenn du meinen 1. Beitrag doch gelesen hättest,
da steht das schon sehr lange unglücklich

01.12.2018, 12:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

riwe, ehemals wernerrin, heißt jetzt werner?

01.12.2018, 12:30

werner

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
riwe, ehemals wernerrin, heißt jetzt werner?

ja, eigentlich schon von Geburt an Augenzwinkern

01.12.2018, 13:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

@riwe/werner: ein textloses Bild von 2 Mittelsenkrechten mit eingeblendeter fertiger Formel ist eben nicht gerade das was mir bei der Suche des fehlenden Stückes der Herleitung geholfen hätte.
Komplettlösungen sind nach MatheBoard-Vorgaben in der Regel zu vermeiden. Deshalb auch mal ein unglücklich

------------------
Und der Rest war für den schulischen Geometriebereich etwas sehr algebraisch, was ich aber auf meine Kappe nehme, da die Koordinatenbeschreibung der Aufgabe geradezu in diese Richtung drängte.

01.12.2018, 14:38

werner

Auf diesen Beitrag antworten »

in dem "textlosen" Bild steht r = ....na was soll´s

Neue Frage »

Antworten »

Radius bei 3 speziellen Punkten

Verwandte Themen