Urbilder abgeschlossener Mengen relativ abgeschlossen => f stetig

27.11.2018, 17:28	lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Urbilder abgeschlossener Mengen relativ abgeschlossen => f stetig Meine Frage: Hi, es sei f: D->R^n eine Abbildung. Es soll gezeigt werden, dass wenn das Urbild f^-1(A) jeder abgeschlossenen Menge A relativ abgeschlossen in D ist (also es gibt eine abgeschlossene Menge C mit $\begin{eqnarray} f^{-1}(A)=C \cap D \end{eqnarray}$ )f stetig ist. Meine Ideen: Die andere Richtung habe ich bereits bewiesen, bei dieser Richtung habe ich bisher leider erfolglos mit Widerspruchsbeweisen herumprobiert, hat jemand vielleicht einen Ansatz, der mir weiter helfen könnte? Grüße, lea
27.11.2018, 22:37	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist D? Wie habt ihr Stetigkeit definiert? Auf welche "andere Richtung" beziehst du dich?
27.11.2018, 23:42	lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Danke für dein Interesse, Also, D ist eine Teilmenge von R^m. Stetigkeit wurde bei uns über das epsilon delta Kriterium definiert. Was die Richtung angeht, laut der Aufgabe soll man eigentlich die Äquivalenz der Stetigkeit und der Abgeschlossenheit bzw. relativ Abgeschlossenheit zeigen. Ich meinte nur, dass ich f stetig => (abgeschlossene mengen=>relativ abgeschlossene Urbilder) bereits gezeigt habe. Mir fehlt noch die Richtung die ich in meiner Frage beschrieben habe.
28.11.2018, 02:25	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \in D \end{eqnarray}$ und setze $\begin{eqnarray} A := \mathbb R^n \setminus B_\varepsilon(f(x)) \end{eqnarray}$ . Was weißt du über $\begin{eqnarray} f^{-1}(A) \end{eqnarray}$ ?
28.11.2018, 08:05	lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an, dass du mit B die epsilon Umgebung meinst. Also, ich weiß, dass B als Umgebung offen ist, somit ist A abgeschlossen und laut Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(A) \end{eqnarray}$ dann in D abgeschlossen. Also $\begin{eqnarray} \exists C: C \cap D = f^{-1}(A) \end{eqnarray}$ wobei C abgeschlossen ist. Ich habe jetzt versucht zu zeigen, dass wir eine offene Menge finden welche im Durchschnitt mit D das Urbild der Umgebung B ergibt. Daraus könnte man ja ohne Probleme die Stetigkeit ableiten. Leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch was diese offene Menge angeht :/
28.11.2018, 09:13	lea20	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ich bin doof, habe nur übersehen, dass das Urbild von R^n gleich D ist. Der Beweis hat soweit geklappt, vielen Dank!
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28.11.2018, 11:27	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt gut.

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