Analysisaufgabe Limonadenherstellung

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NassimBenz Auf diesen Beitrag antworten »
Analysisaufgabe Limonadenherstellung
Meine Frage:
Hey Leute ich habe folgende Aufgabe, bei deren Lösung ich schon verzweifle. Ich würde mich schon über Lösungsansätze freuen.

Limonadenhersteller (fiktives Beispiel)
Ein mittelständisches Unternehmen stellt verschiedene Sorten Limonade her. Durch ein geschicktes Marketing ist es dem kleinen Betrieb gelungen, sich an dem von Großunternehmen bestimmten Markt für Erfrischungsgetränke zu behaupten.
Die Angabe der produzierten Limonadenmenge erfolgt in der Mengeneinheit 1 ME. Sie entspricht 1000 Litern. An dieser Stelle sei der Hinweis gegeben, dass die Getränkeindustrie die produzierten Mengen üblicherweise in Hektoliter angibt. Ein Hektoliter entspricht 100 Litern.

Das hier betrachtete Unternehmen hat pro Monat 52 000 ? Fixkosten und für die Produktion von 10 ME fallen Gesamtkosten in Höhe 54 000 Euro an. Es ist weiterhin bekannt, dass für die Produktion von 200 ME Gesamtkosten in Höhe von 75 000 Euro anfallen und der Kostenanstieg bei dieser Abfüllmenge am geringsten ist.
a) Ermitteln Sie unter Berücksichtigung aller genannten Angaben die Gleichung einer
ganzrationalen Gesamtkostenfunktion Ko dritten Grades.

b) Aufgrund eines Preisnachlasses der Rohstofflieferanten und einer Gehaltserhöhung für die Beschäftigten verändern sich die Kosten für die Limonadenhersteller.

Die neue Gleichung der Kostenfunktion lautet:
K(x) = 0,001 x3 - 0,7 x2 + 210 x + 58 000
Berechnen Sie die Produktionsmenge, bei welcher der Kostenanstieg nun am geringsten ist.

c) Für die Produktion der unterschiedlichen Limonadensorten fallen keine unterschiedlichen Kosten an, so dass sich der Hersteller entschieden hat, alle Produkte zu einem Preis von 8 Euro pro Kasten auf den Markt zu bringen. Jeder Kasten enthält zwanzig Halbliterflaschen.
? Weisen Sie nach, dass die Gleichung der Gewinnfunktion G lautet:

G(x) = - 0,001 x3 + 0,7 x2 + 590 x -58 000
? Bestimmen Sie Gewinnschwelle und Gewinngrenze näherungsweise zeichnerisch anhand des Graphen der Funktion, und rechnerisch auf eine Nachkommastelle exakt.
? Berechnen Sie den maximal zu erwartenden Gewinn. Bitte wenden

d) Entwickeln Sie auf der Grundlage mathematischer und außermathematischer Überlegungen mögliche Werte für tägliche Produktionsmengen und Verkaufspreise.
Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

Hinweis:
Eine kombinierte Gewinnfunktion für zwei Limonadensorten könnte
? (x,y) = G (x) + GE (y) sein.
Diese setzt sich zusammen aus den Gewinnfunktionen
G(x) = - 0,001 x3 + 0,7 x2 + 590 x - 58 000 und
GE(y) = - 0,001 y3 + 0,2 y2 + 690 y ? 62 000.
Grundsätzlich kann eine Gewinnfunktion durch die Differenz aus Erlösfunktion E(x) und der Kostenfunktion K(x) ermittelt werden
G(x) = E(x) ? K(x)


Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ansätze, weil mir gerade das schwer fällt, hoffe auf Mathebegeisterte der mir ein wenig helfen, wenn auch nur bei den Ansätzen. Viel lieben Dank.
modesetup Auf diesen Beitrag antworten »

Was wissen wir?
1 ME = 1000l
1 Hektoliter = 100l

Fixkosten: 52.000€
Herstellung von 10 ME: 54.000€
Herstellung von 200 ME: 75.000€ (geringster Kostenanstieg)

a) gesucht: Gleichung für Gesamtkosten, ganzrational, dritten Grades

allgemeine Form: f(x)=a+b+cx+d

1. Fixkosten sind 52000€ (Ausgaben ohne was zu produzieren)
=> f(0)=52000 => d=52000

2. f(10)=a+b+c10+52000=54000

3. f(200)=a+b+c200+52000=75000

4. geringster Kostenanstieg (bei x=200) => geringste Steigung => Minimum der 1.Ableitung => Wendepunkt (bei x=200)

aus den Ansätzen 1.-4. muss nun die Gleichung modelliert werden.


b) aus a)4. wissen wir bereits, dass ein Wendepunkt der Funktion berechnet werden muss.

notwendige Bedingung: f''(x)=0
hinreichende Bedingung: f'''(x)0
 
 
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