Ungleichung beweisen

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28.11.2018, 16:21	Johhnye	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen Hallo! Hätte eine Frage zum Beweis einer Ungleichung. $\begin{eqnarray} sin(x) \leq x \leq tan(x) \end{eqnarray}$ für alle x $\begin{eqnarray} )0; \dfrac{\pi}{2}( \end{eqnarray}$ Prinzipiell habe ich nun 2 Hilfsfunktionen erstellt: $\begin{eqnarray} g(x) = x - sin(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = tan(x) - x \geq 0 \end{eqnarray}$ Wenn es mir nun gelingt, diese Hilfsfunktionen zu beweisen, dann gilt der Beweis für die Ungleichung. Nur (!), wie gehe ich hier am besten vor, um diese Funktionen zu beweisen? Könnte mir da jemand helfen! Vielen Dank für alle Hilfestellungen!
28.11.2018, 16:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen Funktionen kann man nicht beweisen, das ist schlichtweg Unsinn. Ungleichungen kann man beweisen, z.B. mit Hilfsfunktionen ... und deren Ableitung
28.11.2018, 16:39	Johhnye	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann wäre ich dir verbunden, wenn du mich eines besseren belehrst, hinsichtlich des Beweises der Ungleichung mit Hilfsfunktionen. Abgeleitet ergeben die Hilfsfunktionen: $\begin{eqnarray} g'(x) = cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 1 + tan^2(x) \end{eqnarray}$ Was habe ich nun zu tun?
28.11.2018, 16:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Der nächste Schritt besteht darin, deine Ableitungen zu überprüfen
28.11.2018, 16:53	Johhnye	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist schon mal ein guter Schritt! $\begin{eqnarray} g'(x) = 1-cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = tan^2(x) \end{eqnarray}$ Bereit für den nächsten.
28.11.2018, 16:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt auch einen schlichten elementargeometrischen Beweis dieser Doppelungleichung. Ich erwähne das deshalb, weil im Fall einer geometrischen Defintion der Winkelfunktionen diese zu beweisende Ungleichung zentraler Bestandteil des Beweises von $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray}$ ist, aus dem dann erst die Ableitungsregeln der Winkelfunktionen entwickelt werden usw. Wenn die Ableitungen der Winkelfunktionen hier bereits als bekannt vorausgesetzt werden dürfen (woher auch immer, womöglich weil die Winkelfunktionen hier per Reihen definiert wurden), dann Ok, dann kann man so vorgehen. Andernfalls liegt ein gewisser Geruch von Zirkelschluss in der Luft. https://de.wikibooks.org/wiki/ Beweisarc...it_Fl%C3%A4chen
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28.11.2018, 16:59	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorzeichen? Monotonie?
28.11.2018, 17:01	Johhnye	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Leider nicht. Soll nur mit Ableiten gelöst werden... nur mir fehlt hier eben der weitere Ansatz
28.11.2018, 17:11	Johhnye	Auf diesen Beitrag antworten »
g'(x) ist in dem Intervall größer gleich 0, so viel kann man sagen -> daher monoton steigend f'(x) ist in dem Intervall größer gleich 0 -> daher auch monoton steigend Und nun?
28.11.2018, 17:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
und nun denkst du nochmal nach, was du zeigen möchtest.
28.11.2018, 17:36	Johhnye	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet die Steigungen für jeden Punkt meines Intervalls sind >= 0. Das bedeutet die einzelnen Hilfs"ungleichungen" sind für mein Intervall immer >= 0. Das bedeutet sie sind wahr und somit ist die zu zeigende Ungleichung auch wahr?
28.11.2018, 17:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt leider das entscheidende Argument. $\begin{eqnarray} u(x)=x-1 \end{eqnarray}$ hat auch positive Steigung auf $\begin{eqnarray} (0,\frac \pi 2) \end{eqnarray}$ , aber es gilt trotzdem nicht $\begin{eqnarray} u(x)\geq 0 \end{eqnarray}$
28.11.2018, 17:44	Johhnye	Auf diesen Beitrag antworten »
f(0) = 0 und g(0) = 0 Nachdem, wie wir bereits festgestellt haben, beide Funktionen im Intervall monoton steigend sind gelten die Ungleichungen? So?
28.11.2018, 17:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
28.11.2018, 17:47	Johhnye	Auf diesen Beitrag antworten »
Vieeelen Dank für die Hilfe und für die Hartnäckigkeit beim Aufarbeiten des Problems!

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