Äquivalenzrelation

28.11.2018, 18:19	Matheneuling001	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Meine Frage: Sei ~ eine Relation auf Z wie folgt gegeben. Für alle a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z gelte a~b genau dann, wenn ab eine Quadratzahl ist. Meine Ideen:* Ich weiß, dass ich die 3 Eigenschaften für eine Äquivalenzrelation überprüfen muss. Aber ich sehe nicht, welche dieser Eigenschaften nicht erfüllt ist, weshalb es sich nicht um eine Äquivalenzrelation handelt. Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.
28.11.2018, 19:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Reflexiv und symmetrisch geht ganz einfach, aber für die Transitivität fällt mir spontan nur eine etwas mühsame Betrachtung der Primzerlegungen ein. Auch wenn du nicht siehst, dass eine Eigenschaft nicht erfüllt ist, musst du beweisen, dass alle Eigenschaften erfüllt sind. Nicht das Gegenteil zu sehen ist kein Beweis.
28.11.2018, 19:37	Matheneuling001	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie verstehe ich nicht so richtig was ich zeigen soll... Die Aufgabe ist, dass ich zeigen soll, dass es keine Äquivalenzrelation ist. Das bedeutet eine der drei Eigenschaften für die Äquivalenzrelationen ist nicht erfüllt bzw. wird verletzt. Reflexivität ist aber erfüllt, genauso wie die Symmetrie. Das bedeutet doch, dass nur bei der Transitivität etwas nicht klappt. Aber ich wei0 nicht wie ich das zeigen kann, weil ich nicht verstehe warum sie nicht erfüllt ist. Ich habe mir folgendes gedacht: a~b wenn $\begin{eqnarray} ab=x^{2} \end{eqnarray}$ und b~c $\begin{eqnarray} wenn bc=y^{2} \end{eqnarray}$ Dann ist ac= $\begin{eqnarray} (\frac{xy}{b})^{2} \end{eqnarray*}$ Aber das kann ja nicht stimmen.
28.11.2018, 19:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Behauptung: Die Relation ist transitiv. Beweis: $\begin{eqnarray} a=\prod p^d,b=\prod p^e,c=\prod p^f\Rightarrow ab=\prod p^{d+e},bc=\prod p^{e+f} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ab,bc \end{eqnarray}$ Quadrate, also $\begin{eqnarray} 2\|(d+e) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2\|(e+f) \end{eqnarray}$ für alle Primteiler $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ beide gerade oder beide ungerade, dasselbe für $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , dann gilt dasselbe auch für $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , also ist auch $\begin{eqnarray} ac \end{eqnarray}$ ein Quadrat. qed. (Hoffentlich habe ich mich hier nicht blamiert. )
28.11.2018, 20:05	Matheneuling001	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Das heißt bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Äquivalenzrelation?
28.11.2018, 20:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 3\cdot 0=0^2, 0\cdot 5=0^2 \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} 3\cdot 5 \end{eqnarray}$ ist keine Quadratzahl. Sonst hast du mit $\begin{eqnarray} ac=(\frac{xy}{b})^{2} \end{eqnarray}$ schon recht.
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28.11.2018, 21:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab's geahnt. Mein Argument funktioniert auch nicht für b=0. Immerhin haben wir eine Aequivalenzrelation auf den natürlichen Zahlen (ohne 0)

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