Abhängige diskrete Zufallsvariablen addieren

29.11.2018, 12:14

mrclndr

Abhängige diskrete Zufallsvariablen addieren

Ich habe Folgendes gegeben:

Zitat:

Die Zufallsvariablen X und Y seien diskret verteilt mit den Werten 1, 2, 3, 4 bzw. 0, 1, 2, 3. Y sei B(3,0.5)-verteilt. Die folgende Tabelle enthält die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(X=i|Y=k) für i=1,2,3,4 und k=0,1,2,3.

[Tabelle]

Außerdem habe ich mir in einem Teil der Aufgabe bereits die Wahrscheinlichkeiten P(X=i, Y=k) für dasselbe i und k ausgerechnet sowie die Erwartungswerte und Varianzen jeweils von X und Y sowie die Kovarianz Cov(X,Y).

Wo ich gerade hänge: Ich soll die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Z=X+Y berechnen.

Konkret geht es erstmal um die Verteilung. Die Lösung gibt folgende Formel an, die ich leider nicht ganz verstehe und mit der ich auch nicht richtig umgehen kann (d.h., wenn ich versuche, es rechnerisch nachzuvollziehen, kommen - jedenfalls ab Z=4 - nicht die richtigen Verteilungswerte heraus):

$\begin{eqnarray*} P(Z=j)=\sum\limits_{1\leq i\leq 4, 0\leq k\leq 3, i+k=j} P(X=i, Y=k) = \sum\limits_{i=max(j-3,0)}^{min(4,j)} P(X=i, Y=j-i) \end{eqnarray*}$

Das eine ist: Wie leitet sich diese Formel überhaupt her? Also von welchem Ansatz kann ich ausgehen, um auf diese Formel zu kommen? Das andere ist: Mich verwirrt z.B. die Funktion i=max(j-3,0) gehörig. Wenn mein j=1 ist, ergo j-3=-2, dann heißt das, dass i=0? Das kann doch aber gar nicht sein, weil die Zufallsvariable X diesen Wert gar nicht annehmen kann?

Bin für jeden Tipp dankbar!

29.11.2018, 16:57

HAL 9000

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RE: Abhängige diskrete Zufallsvariablen addieren

Zitat:

Original von mrclndr
Das eine ist: Wie leitet sich diese Formel überhaupt her? Also von welchem Ansatz kann ich ausgehen, um auf diese Formel zu kommen?

Die Grundlage ist

$\begin{eqnarray*} P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i\cap B)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

dabei wird vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_n \end{eqnarray*}$ eine disjunkte Zerlegung von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ (d.h. dem sicheren Ereignis ist), d.h., bei jeder Wiederholung des Zufallsexperiments tritt immer genau eins dieser Ereignisse ein. Begründet wird (*) dann schlicht mit der Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . (Formel (*) ist außerdem die Grundlage der Formel der Totalen Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)\cdot P(B\mid A_i) \end{eqnarray*}$ , aber die brauchen wir hier nicht.)

Hier nun wählen wir $\begin{eqnarray*} n=4,\;A_i=[X=i],\;B=[Z=j] \end{eqnarray*}$ , damit gilt laut (*)

$\begin{eqnarray*} P(Z=j) = \sum_{i=1}^4 P([X=i]\cap [Z=j]) = \sum_{i=1}^4 P(X=i,Z=j) \end{eqnarray*}$ ,

dabei läuft die Summe über alle Werte $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Nun können wir die Ereignisse weiter umformen:

$\begin{eqnarray*} P(X=i,Z=j) = P(X=i,X+Y=j) \stackrel{!}{=} P(X=i,i+Y=j) = P(X=i,Y=j-i) \end{eqnarray*}$ ,

am interessantesten ist womöglich Schritt $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ : Da wir bei $\begin{eqnarray*} P(X=i,X+Y=j) \end{eqnarray*}$ eh nur ein Ereignis betrachten, wo immer $\begin{eqnarray*} X=i \end{eqnarray*}$ gilt, kann das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X+Y=j \end{eqnarray*}$ auch fest durch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ersetzt werden - was in diesem Schritt dann auch getan wird. Die restlichen Gleichheitsumformungen betreffen lediglich Äquivalenzumformungen der das Ereignis definierenden Gleichungen. Gut, damit sind wir bei

$\begin{eqnarray*} P(X=i) = \sum_{i=1}^4 P(X=i,Y=j-i)\qquad (**) \end{eqnarray*}$ ,

und diese Gleichung ist bereits richtig. Je nach Wert von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ kann man die Summation dann auch auf weniger Glieder beschränken, schlicht weil bei bestimmten Konstellationen $\begin{eqnarray*} Y=j-i \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht möglich ist, was sich dann in $\begin{eqnarray*} P(X=i,Y=j-i)=0 \end{eqnarray*}$ für diese Konstellationen äußert. Untersucht man das genauer, so gilt $\begin{eqnarray*} P(X=i,Y=j-i)\neq 0 \end{eqnarray*}$ höchstens (!) dann, wenn $\begin{eqnarray*} 0\leq j-i\leq 3 \end{eqnarray*}$ gilt, also nach $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ umgestellt $\begin{eqnarray*} j-3\leq i\leq j \end{eqnarray*}$ . Kombiniert mit $\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq 4 \end{eqnarray*}$ führt das zu $\begin{eqnarray*} \max(j-3,1)\leq i\leq \min(j,4) \end{eqnarray*}$ , insgesamt also

$\begin{eqnarray*} P(X=i) = \sum_{i=\max(j-3,1)}^{\min(j,4)} P(X=i,Y=j-i) \end{eqnarray*}$ .

Aber wie gesagt, auch (**) ist bereits richtig, unter Inkaufnahme einiger überflüssig summierter Nullen.

Zitat:

Original von mrclndr
Wenn mein j=1 ist, ergo j-3=-2, dann heißt das, dass i=0? Das kann doch aber gar nicht sein, weil die Zufallsvariable X diesen Wert gar nicht annehmen kann?

Zum einen lag da wohl ein Schreibfehler vor (s.o.), es muss $\begin{eqnarray*} \max(j-3,1) \end{eqnarray*}$ heißen. Zum anderen: Wenn eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ einen Wert $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ nicht annehmen kann, dann ist das keine Katastrophe, sondern bedeutet nur $\begin{eqnarray*} P(X=i)=0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Insofern hatte der mutmaßliche Schreibfehler gar keine gravierenden Auswirkungen: Die Formel ist trotzdem richtig, auch mit $\begin{eqnarray*} \max(j-3,0) \end{eqnarray*}$ . smile

02.12.2018, 10:48

mrclndr

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!! Hab's nachvollziehen und jetzt alles ausrechnen können smile

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