Mehrdimensionale Ableitung

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29.11.2018, 13:49	jana322	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Ableitung Meine Frage: Moin alle zusammen. Ich muss irgendwie von $\begin{eqnarray} <grad (f), \sum\limits_{j=1}^{2} n_{j} \frac{dF}{du_{j}} > \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{2} n_{j} \frac{d(foF)}{du_{j} } \end{eqnarray}$ kommen. Leider kriege ich das nicht gebacken. Meine Ideen: grad f= $\begin{eqnarray} (\frac{df}{dx_{1}},...,\frac{df}{dx_{n}}) \end{eqnarray}$ Also heißt das $\begin{eqnarray} <(\frac{df}{dx_{1}},...,\frac{df}{dx_{n}}), \sum\limits_{j=1}^{2} n_{j} \frac{dF}{du_{j}} > \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{2} n_{j} <(\frac{df}{dx_{1}},...,\frac{df}{dx_{n}}), \frac{dF}{du_{j}} > \end{eqnarray}$ soweit sollte es richtig sein oder
29.11.2018, 14:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Ableitung Du könntest die Sache von hinten aufziehen, sprich den Ausdruck, zu dem du kommen willst, mit Hilfe der Kettenregel differenzieren. Grundsätzlich finde ich es ziemlich ärgerlich, dass wir mal wieder raten müssen, was die spitzen Klammern bedeuten, was f oder F sind. Ist es denn wirklich zu viel verlangt, dass du dein Problem sauber aufschreibst?
29.11.2018, 14:52	jana322	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionales Ableitung Nein es ist nicht viel verlangt. Ich dachte nur das es nicht nötig ist. Die spitzen klammern stehen für das Skalaprodukt. Aufgabe: Sei S eine reguläre Fläche, seien X und Y zwei Vertorfender auf S. Zeigen Sie, dass es genau ein Vektorfeld Z auf S gibt, das für alle glatten Funktionen f: S-> R $\begin{eqnarray} \partial_{X}(\partial_{Y} f) -\partial_{Y}(\partial_{X} f) = \partial_{Z }f \end{eqnarray}$ erfüllt. Zeigen Sie ferner, dass falls X und Y bezüglich einer lokalen Parametrisierung (U,F,V) durch $\begin{eqnarray} X= \sum\limits_{i=1}^{2} \xi_{i} \frac{\partial F}{\partial u_{i}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y= \sum\limits_{i=1}^{2} \eta_{i} \frac{\partial F}{\partial u_{i}} \end{eqnarray}$ gegeben sind, Z dann $\begin{eqnarray} Z= \sum\limits_{i ,j=1}^{2} (\xi_{i} \frac{\partial \eta_{j}}{\partial u_{i}}-\eta_{i} \frac{\partial \xi_{j}}{\partial u_{i}}) \frac{\partial F}{\partial u_{j}} \end{eqnarray}$ erfüllt. Bemerkung: Mit $\begin{eqnarray} \partial_{Y} \end{eqnarray}$ wird die Richtungsableitung nach Y verstanden. Für X genauso. Mein Problem: Ich möchte nun zunächst $\begin{eqnarray} \partial_{Y} f \end{eqnarray}$ bestimmen. Das Problem steht in meinem anderen Beitrag
29.11.2018, 14:59	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Ableitung Neh, $\begin{eqnarray} df \end{eqnarray}$ ist das totale Differential von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Der Gradient ist definiert durch $\begin{eqnarray} (\nabla f)(a) := \sum_{k=1}^n \mathbf e_k\frac{\partial f}{\partial x_k}\bigg\|_{x=a}. \end{eqnarray}$ Ich hoffe doch, du meinst mit $\begin{eqnarray} d(f\circ F) \end{eqnarray}$ das totale Differential von $\begin{eqnarray} g=f\circ F \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} dF \end{eqnarray}$ die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Nicht dass das jetzt auch partielle Ableitungen sein sollen? Wenn nichts weiter angegeben ist, nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray} F\colon U\to G, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\colon G\to\mathbb R \end{eqnarray}$ mit offenen Mengen $\begin{eqnarray} U\subseteq\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G\subseteq\mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Außerdem nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray} \langle v,w\rangle \end{eqnarray}$ das Standardskalarprodukt auf dem Koordinatenraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist.
29.11.2018, 15:13	jana322	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Ableitung Da muss ich dich leider enttäuschen. Definition 4.2.4 Sei S eine reguläre Fläche, $\begin{eqnarray} p \in S \end{eqnarray}$ ein Punkt, $\begin{eqnarray} X_{p} \in T_{p}S \end{eqnarray}$ ein Tangentialvektor und f: S->R eine glatte Funktion. Dann heißt $\begin{eqnarray} \partial_{X_{p}} f:= d_{p} f(X_{p})= I(grad f(p), X_{p}) \in R \end{eqnarray}$ Richtungsableitung von f nach $\begin{eqnarray} X_{p} \end{eqnarray}$ . Ist X ein Vektorfeld auf S, so heißt auch die Funktion $\begin{eqnarray} \partial_{X} f: S->R, \partial_{X} f(p):= \partial_{X_{p}} f \end{eqnarray}$ Richtungsableitung von f nach dem Vektorfeld X. Hier ist $\begin{eqnarray} d_{p} f(X_{p}) \end{eqnarray}$ das Differential.
29.11.2018, 16:14	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Ableitung Na da müsste man nur die Kettenregel anwenden: $\begin{eqnarray} \frac{\partial (f\circ F)}{\partial u_j}(u) = \sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_k}(F(u)) \frac{\partial F_k}{\partial u_j}(u) = \langle(\nabla f)(F(u)),\frac{\partial F}{\partial u_j}(u)\rangle. \end{eqnarray}$ Beachte mal, dass wir uns bei der partiellen Ableitung auf eine Richtung parallel zur Achse des Koordinatenraumes einschränken. Das heißt, man betrachtet dann eine Verkettung $\begin{eqnarray} \mathbb R\to\mathbb R^n\to \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wenn du mal bei Wikipedia »Mehrdimensionale Kettenregel« schaust, das ist tatsächlich der »Spezialfall n=m=1«, wobei der Ableitungsstrich gegen die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray} u_j \end{eqnarray}$ ausgetauscht werden muss. So, wenn da keine riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegt, kommt da auch kein Gradient und kein Skalarprodukt vor. Das sind totales Differential und duale Paarung. Es ist nur so, dass das auf dem Koordinatenraum das selbe ist. Da müsste also stehen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial (f\circ F)}{\partial u_j}(u) = (df)(F(u))(\frac{\partial F}{\partial u_j}(u)), \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} (df)(p)(v) = (d_p f)(v). \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} f\colon S\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , dann kann man nicht einfach so ohne weiteres den Gradienten von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bilden, weil der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht der Koordinatenraum ist. Stattdessen paart man den Kotangentialvektor $\begin{eqnarray} (df)(p) \end{eqnarray}$ mit einem Vektor aus dem Tangentialraum. Das ist immer möglich, auch wenn keine riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegt. Bei $\begin{eqnarray} (df)(p) \end{eqnarray}$ handelt es sich ja um eine lineare Abbildung. Die besäße eine Darstellungsmatrix, dazu müsste man aber eine Basis des Tangentialraumes haben, an jedem Punkt p, also einen Rahmen. Dieser kann durch eine lokale Parametrisierung induziert werden, indem man die partiellen Ableitungen der Parametrisierung bildet.
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29.11.2018, 16:24	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Ableitung Also wenn $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ die lokale Parametrisierung ist, dann ist $\begin{eqnarray} \left(\frac{\partial F}{\partial u_j}\right), \quad j\in\{1,2\} \end{eqnarray}$ der Rahmen. Die Ausdrücke mit dualer Paarung lassen sich damit als Matrizenmultplikation oder »Skalarprodukt« schreiben. Bzw. man bekommt ganz viele Indizes.
29.11.2018, 16:59	jana322	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Ableitung Das sind aber ganz viele Informationen Wir müssen doch das hier $\begin{eqnarray} < grad f, \sum\limits_{j=1}^{2} \eta_{j} \frac{\partial F}{\partial u_{j}}> \end{eqnarray}$ berechnen. Durch Umformung komme ich auf $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{2} \eta_{j} < grad f, \frac{\partial F}{\partial u_{j}}> \end{eqnarray}$ und ab hier weiß ich wie gesagt nicht weiter. Bei dir steht in der 2 Zeile (grad f)(F(u)). In meiner angegebenen Definition steht allerdings nur grad f(p)..
29.11.2018, 19:05	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Ableitung Wenn man der Kettenregel glauben mag, müsste $\begin{eqnarray} p=F(u) \end{eqnarray}$ sein. Man kann es auch so finden: Die Abbildung $\begin{eqnarray} \frac{\partial (f\circ F)}{\partial u_j}(u) \end{eqnarray}$ ist doch nur von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ abhängig, aber nicht von einem Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Wo soll der denn zusätzlich herkommen? Wenn da einfach nur $\begin{eqnarray} \operatorname{grad} f \end{eqnarray}$ stünde, dann müsste man doch zusätzlich den Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ angeben. Oder schärfer: Alle Vektoren müssen aus dem selben Tangentialraum bzw. Kotangentialraum am Punkt p entstammen. Wenn ich das Standardskalarprodukt mit dem Basisvektor $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial u_j} \end{eqnarray}$ bilden möchte, muss mein zweiter Vektor auch aus dem Tangentialraum am Punkt p entstammen, bzw. abstrakt als Linearform aus dem Kotangentialraum. Dann muss doch zwangsläufig $\begin{eqnarray} p=F(u) \end{eqnarray}$ sein.

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