Zufallsvariablen "Auftreten von 6ern" mit n bzw. n+m Würfen

29.11.2018, 15:02

mrclndr

Zufallsvariablen "Auftreten von 6ern" mit n bzw. n+m Würfen

Ich muss folgendes Beispiel lösen:

Zitat:

Ein Würfel werde (n+m)-mal geworfen (n,m $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ). Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl des Auftretens von "Sechsen" bei den ersten n Würfen, die Zufallsvariable Y beschreibe die Anzahl des Auftretens von "Sechsen" bei allen n+m Würfen. Man berechne den Korrelationskoeffizienten $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ (X,Y).

Die Formel für den Korrelationskoeffizienten kenne ich:

$\begin{eqnarray*} \rho(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)*Var(Y)}} \end{eqnarray*}$

Ich muss also 1. die Zufallsvariablen X und Y näher bestimmen, 2. Var(X) und Var(Y) berechnen, 3. Cov(X,Y) berechnen. Leider steige ich bei dem Beispiel hinten und vorne aus, aber vielleicht mal zum ersten Schritt...

Dem Lösungsbuch entnehme ich für (1) folgenden Ansatz:

Zitat:

Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1}, X_{2}, ..., X_{n+m} \end{eqnarray*}$ seien unabhängig und identisch B(1, 1/6)-verteilt. Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_{i}, i \in {1, ..., n+m} \end{eqnarray*}$ nehme genau dann den Wert 1 an, falls beim i-ten Wurf mit dem Würfel eine Sechs auftritt."

Daraus folgt laut Lösung: $\begin{eqnarray*} X=\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y=\sum\limits_{i=1}^{n+m} X_{i} \end{eqnarray*}$ . Das finde ich plausibel; da werden einfach alle Einsen zusammengezählt und das ist dann natürlich die Anzahl der Auftritte der Sechs bei n bzw. n+m Würfen. Ich komm leider nicht auf den Zwischenschritt davor: Wie komme ich denn von den einzelnen bestimmten Variablen mit Verteilung B(1, 1/6) (die mir soweit auch noch einleuchten: ich werfe den Würfel einmal und kriege mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 eine 6) auf die "Zählervariable" $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$ , die mir entweder 1 oder 0 ausspuckt? Das leuchtet mir überhaupt nicht ein, denn die Formel für die Binomialverteilung der einzelnen Variablen gibt das ja nicht her (auch nicht aufsummiert).

Würde mich über Tipps freuen!

29.11.2018, 18:35

HAL 9000

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Führe eine dritte Zufallsvariable ein:

$\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ... Anzahl der Sechsen bei den letzten $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Würfen

Dann ist offenbar $\begin{eqnarray*} Y=X+Z \end{eqnarray*}$ , und der große Vorteil dieser Betrachtung ist, dass $\begin{eqnarray*} X,Z \end{eqnarray*}$ aus dem inhaltlichen Hintergrund heraus unabhängig sind. Das kann man bei den anstehenden Berechnungen nutzen, natürlich in Verbindung mit der Linearität von Erwartungswert und Kovarianz:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{Cov}(X,X+Z) = \operatorname{Cov}(X,X) + \operatorname{Cov}(X,Z) = \operatorname{Var}(X) + 0 = n\sigma^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = n\sigma^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(Y) = (m+n)\sigma^2 \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ die Varianz der Indikatorzufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ , so wie du sie definiert hast (deren genaue Größe benötigt man nicht mal zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} \rho(X,Y) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

30.11.2018, 15:17

mrclndr

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Vielen Dank!! Ich habe das Meiste gut verstanden, was mir leider noch nicht hundertprozentig klar ist: Der (wohl recht zentrale) Schritt von Cov(X, X+Z) auf Cov(X,X)+Cov(X,Z). Kannst du mir da einen Hinweis geben, welche Sätze ich brauche?

Und eins noch: es ist n*Var(X), weil Var(X) die Varianz für das Einzelereignis X_i angibt, das ich ja n-mal habe (analog bei nm), oder?

30.11.2018, 16:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von mrclndr
Kannst du mir da einen Hinweis geben, welche Sätze ich brauche?

Wie ich schon sagte: Linearität des Erwartungswertoperators.

Aus der folgt über dessen Definition auch die Linearität des Kovarianzoperators, besser gesagt dessen Bilinearität (d.h. linear in jeder der beiden Komponenten).

Zitat:

Original von mrclndr
Und eins noch: es ist n*Var(X), weil Var(X) die Varianz für das Einzelereignis X_i angibt, das ich ja n-mal habe (analog bei nm), oder?

Ja, aber hier geht die Unabhängigkeit der Einzelwürfe ein - generell (d.h. ohne Unabhängigkeit) stimmt "Varianz der Summe = Summe der Varianzen" nämlich nicht.

30.11.2018, 16:41

mrclndr

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ad Linearität: OK, ich hatte ein bisschen mit den entsprechenden Sätzen zur Linearität herumprobiert, wahrscheinlich fehlt es mir an rechnerischer Übung :-) Ich werd schauen, dass ich die Umformung noch hinkriege, danke für deine Hilfe!

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