Unleserlich! Rekursionsgleichung

29.11.2018, 17:04

Jae

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Rekursionsgleichung

Meine Frage:
Hallo kann mir jemand helfen die folgende Rekursionsgleichung zu Lösen:

Fur ¨ n ? N sei An die Anzahl der n-stelligen Zahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2
bestehen, mit 1 beginnen und bei denen zwischen zwei von Null verschiedenen
Ziffern immer mindestens eine 0 steht.

An für n ? 3 die Rekursionsgleichung An = An?1+2·An?2

erfüllt und bestimmen Sie die Anfangswerte ¨ A1 und A2.

Vielen Dank im voraus

Meine Ideen:
Jede Zahl die ich einsetzt stimmt die Formel nicht und ich bin langsam am verzweifeln

29.11.2018, 17:40

HAL 9000

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Verstümmelungen, immer wieder Verstümmelungen...

Zitat:

Original von Jae
An für n ? 3 die Rekursionsgleichung An = An?1+2·An?2

erfüllt und bestimmen Sie die Anfangswerte ¨ A1 und A2.

Abgesehen von dem unleserlichen Gemüse ? ist das auch kein vollständiger Satz. Kann es sein, dass da ein "Zeigen Sie, dass" vorangestellt werden muss?

Also bitte nochmal, diesmal lesbar und vollständig.

29.11.2018, 17:41

Jae

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RE: Rekursionsgleichung
Da die Gleichung nicht richtig übernommen wurde hier nochmal

Rekursionsformel: $\begin{eqnarray*} A_{n} = A_{n-1}+2*A_{n-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ für n $\begin{eqnarray*} \geq 3 \end{eqnarray*}$

29.11.2018, 17:44

Jae

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RE: Verstümmelungen, immer wieder Verstümmelungen...
Entschuldige da sind mir ein paar viele Fehler beim erstellen dieser Nachricht passiert. Ich habe nochmal die ganze Aufgabe als Bild hochgeladen. Entschuldige falls alles ziemlich unübersichtlich ist da es mein erster Post hier ist

29.11.2018, 17:56

HAL 9000

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Was sind denn deine bisherigen Überlegungen zu der Aufgabe? Das hier

Zitat:

Original von Jae
Jede Zahl die ich einsetzt stimmt die Formel nicht und ich bin langsam am verzweifeln

ist nicht akzeptabel - wenigstens die Werte $\begin{eqnarray*} A_1,A_2 \end{eqnarray*}$ in b) solltest du bestimmen können, das ist ja nun einfach abzuzählen. Zumindest ein paar Gedanken solltest du dazu haben.

29.11.2018, 18:06

Jae

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Zitat:

Original von HAL 9000
Was sind denn deine bisherigen Überlegungen zu der Aufgabe? Das hier

Zitat:

Original von Jae
Jede Zahl die ich einsetzt stimmt die Formel nicht und ich bin langsam am verzweifeln

ist nicht akzeptabel - wenigstens die Werte $\begin{eqnarray*} A_1,A_2 \end{eqnarray*}$ in b) solltest du bestimmen können, das ist ja nun einfach abzuzählen. Zumindest ein paar Gedanken solltest du dazu haben.

Eine Überlegung war es Zahlen aus dem Element N oder die Zahlen die berechnet wurden z.B 1001, 1002 usw. doch ich bin richtig auf dem Holzweg, da es meine erste Begegnung mit Rekursionsgleichungen ist und ich mit langer recherche nicht auf das Ergebnis kam. Hoffe du kannst mir weiter helfen.

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29.11.2018, 18:19

HAL 9000

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Ich rede noch nicht über die Rekursionsgleichung, sondern davon, für kleine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ schlicht mal die Zahlen abzuzählen, die die Bedingungen erfüllen.

Für $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ ist es ja sogar vorgegeben: Es sind die Zahlen 1000, 1001, 1002, 1010 und 1020, also ist $\begin{eqnarray*} A_4=5 \end{eqnarray*}$ .

Und du bist partout nicht in der Lage, das für n=1,2,3,5 zu tun? "Keine Rekursionsgleichung bisher gehabt" ist da eine schwache Ausrede. Es geht schlicht darum, erstmal ein Verständnis für die Situation zu entwickeln. unglücklich

unglücklich

29.11.2018, 18:52

Jae

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Ok danke. Dein $\begin{eqnarray*} A_{4} \end{eqnarray*}$ = 5 hat mir schon weiter geholfen um das zu verstehen. Dann ist $\begin{eqnarray*} A_{1} \end{eqnarray*}$ =1 und $\begin{eqnarray*} A_{2} \end{eqnarray*}$ = 1

Die Begründung wäre: Die Rekursionsgleichung erfüllt ist wenn alle n aus den Natürlichen Zahlen stammen. Es gilt nicht wenn n kleiner 3 ist da n sonst nicht mehr in den Natürlichen Zahlen liegen würde.

Berichtigt mich bitte, wenn falsch ist

29.11.2018, 20:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jae
Die Begründung wäre: Die Rekursionsgleichung erfüllt ist wenn alle n aus den Natürlichen Zahlen stammen. Es gilt nicht wenn n kleiner 3 ist da n sonst nicht mehr in den Natürlichen Zahlen liegen würde.

Wie bitte? Wofür soll das die Begründung sein? verwirrt

verwirrt

Die Begründung für $\begin{eqnarray*} A_1=1 \end{eqnarray*}$ ist, dass nur die eine einstellige Zahl 1 die Bedingungen erfüllt.

Die Begründung für $\begin{eqnarray*} A_2=1 \end{eqnarray*}$ ist, dass nur die eine zweistellige Zahl 10 die Bedingungen erfüllt.

Wie sieht es nun mit $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ aus? Wenn du die hast, inklusive der dazu gehörenden Zahlen, dann kannst du dir langsam mal Gedanken machen, wieso die Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray*} A_n = A_{n-1}+2A_{n-2} \end{eqnarray*}$ gilt.

29.11.2018, 21:18

Jae

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A3 = 3 und A5 = 11

29.11.2018, 21:23

Jae

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Die Funktion nimmt ja die Stelle die man ausrechnen(n) will und rechnet ihn plus den den Wert von (n-2)*2

Hoffe auf schnelle Antwort da die Abgabe leider schon Morgen ist.

29.11.2018, 21:27

HAL 9000

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Genau. Ich schreib mal alle 11 Varianten für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ in spezieller Weise auf, dann bekommst du vielleicht eine Idee, wieso die Rekursionsformel gilt - auch dann für größere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

10000
10010
10020
10100
10200

10001
10101
10201

10002
10102
10202

29.11.2018, 21:28

Jae

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Jae
Die Begründung wäre: Die Rekursionsgleichung erfüllt ist wenn alle n aus den Natürlichen Zahlen stammen. Es gilt nicht wenn n kleiner 3 ist da n sonst nicht mehr in den Natürlichen Zahlen liegen würde.

Wie bitte? Wofür soll das die Begründung sein? verwirrt

verwirrt

Die Begründung für $\begin{eqnarray*} A_1=1 \end{eqnarray*}$ ist, dass nur die eine einstellige Zahl 1 die Bedingungen erfüllt.

Die Begründung für $\begin{eqnarray*} A_2=1 \end{eqnarray*}$ ist, dass nur die eine zweistellige Zahl 10 die Bedingungen erfüllt.

Wie sieht es nun mit $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ aus? Wenn du die hast, inklusive der dazu gehörenden Zahlen, dann kannst du dir langsam mal Gedanken machen, wieso die Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray*} A_n = A_{n-1}+2A_{n-2} \end{eqnarray*}$ gilt.

Tut mir leid, wenn es sich anfühlt als ob man mit einer Mauer redet aber leider verstehe ich sonst nicht wie ich es anders Begründen kann und sorry das du mir alles aus der Nase ziehen musst :C

29.11.2018, 21:33

Jae

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Zitat:

Original von HAL 9000
Genau. Ich schreib mal alle 11 Varianten für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ in spezieller Weise auf, dann bekommst du vielleicht eine Idee, wieso die Rekursionsformel gilt - auch dann für größere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

10000
10010
10020
10100
10200

10001
10101
10201

10002
10102
10202

Genau diese Antworten habe ich auch raus nur leider verstehe ich nicht wie ich es noch erklären soll. könntest du es mir eventuell mal bitte erklären warum die Gleichung es erfüllt, damit ich es verstehe und nächstes mal auch anwenden kann ?

29.11.2018, 21:36

Jae

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Ich weiß das es für n=5 11 Varianten hat. Die Varianten gehen immer um drei hoch wenn n um 1 hoch gerechnet wird. Also für n=6 gibt es 14 Varianten und immer so weiter. Sorry falls ich dich nerve :C

29.11.2018, 21:37

HAL 9000

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Denk doch einfach mal darüber nach, warum ich manche Ziffern rot markiert habe, ob da ein Schema erkennbar ist. Und auch, was vor den roten Ziffern steht.

29.11.2018, 21:45

Jae

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Bei n=5 kommt die 0 Fünf mal am ende vor
Die 01 Drei mal, genau so wie die 02

Das An-1 steht dafür wie viele 0 am ende der Varianten stehen werden und die 2*an-2 steht dafür wie oft die 01 und die 02 in den Varianten vorkommen.

29.11.2018, 21:53

Jae

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Vor den Roten Zahlen wechselt sich die 1 und die 2 ab. Nachdem die 2 da war verschiebt sich die nächste eins um eine Stelle nach Vorne und dies wiederholt sich.

29.11.2018, 21:55

Jae

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Leider weiß ich nicht genau wie ich die ganzen Erkenntnisse in einer Begründung niederschreiben kann. :C

29.11.2018, 22:21

HAL 9000

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10000
10010
10020
10100
10200

Das sind die $\begin{eqnarray*} A_4=5 \end{eqnarray*}$ Varianten für 4 Stellen, ergänzt um die fünfte Stelle 0.

10001
10101
10201

Das sind die $\begin{eqnarray*} A_3=3 \end{eqnarray*}$ Varianten für 3 Stellen, ergänzt um die vierte und fünfte Stelle 01.

10002
10102
10202[/quote]

Ebenfalls wieder die $\begin{eqnarray*} A_3=3 \end{eqnarray*}$ Varianten für 3 Stellen, diesmal ergänzt um die vierte und fünfte Stelle 02.

So erklärt sich $\begin{eqnarray*} A_5 = A_4 + 2A_3 \end{eqnarray*}$ . Und wenn du die Indizes 5,4,3 durch n,n-1,n-2 ersetzt wirst du erkennen, dass genau die gleiche Erklärung auch für $\begin{eqnarray*} A_n = A_{n-1} + 2A_{n-2} \end{eqnarray*}$ passt.

29.11.2018, 22:40

Jae

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Ich weiß ja das es dem Entspricht nur mir fehlen gerade die Worte dafür es als Begründung nieder zu schreiben. Es tut mir leid :C

29.11.2018, 22:43

HAL 9000

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Dann tut's mir auch leid. Ich hab mir die Finger wund geschrieben (inklusive Komplettlösung) und ernte hier nur immer dasselbe Gejammer. unglücklich

unglücklich

29.11.2018, 22:51

Jae

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Vielen Dank für deine Bemühungen mir es zu erklären Gott

Gott

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