Homomorphismus zwischen Strukturen |
| 30.11.2018, 13:30 | xhighend | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Homomorphismus zwischen Strukturen ich möchte genau verstehen was hinter dem Begriff Homomorphismus steckt. Nehmen wir mal als Beispiel Vektorräume. Es heißt ja: "Der Sinn eines Homomorphismus (Lin. Abb.) ist, dass die "Struktur" des einen Vektorraumes auf die Struktur des anderen abgebildet wird". Jetzt möchte ich wissen was genau die "Struktur" beschreibt oder was damit gemeint ist. Meine Vorstellung davon: Ich denke damit meint die Verhaltensweise der jeweiligen Elemente bzgl. ihrer Verknüpfungen. Das heißt die Urbilder und ihre Bilder verhalten sich bzgl. der Verknüpfung in den jeweiligen Strukturen strukturell gleich. Mit Verhaltensweise oder strukturell gleich meine ich, dass die jeweiligen Elemente(Urbilder und deren Bilder) bei Verknüpfung jeweils ein Ergebnis hervorbringen, welche bedeutungsgleiche Teile sind. Augenmerk liegt hier ganz und allein auf das Ergebnis. Ob alle Urbilder und ihre jeweiligen Bilder von Gleicher Art sind, spielt keine Rolle. Beispiel: Sei f eine Lineare Abbildung und Kern f {x,-x, 0}. Hier kann man erkennen, das zwei Elemente(x,-x) nicht auf bedeutungsgleiche Teile abgebildet werden, x (normales Element) und -x (inverses Element), werden auf den Nullvektor abgebildet. Was jedoch erhalten bleibt ist die Struktur, d.h. Urbilder und ihrer jeweiligen Bilder bringen bei analoger Verknüpfung bedeutungsgleiche Elemente als Ergebnis. Hier zum Beispiel: x + (-x) = 0 (Ausgangsvektorraum 1) 0 + 0 = 0 (Vektorraum 2) |
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| 30.11.2018, 15:10 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein K-Vektorraum V ist eine Menge mit Addition + und skalarer Multiplikation, das nennt man eine algebraische Struktur. Ein Vektorraumhomomorphismus, also eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen , verträgt sich mit der Struktur, denn es ist f(x+y)=f(x)+f(y) und f(ax)=af(x) für alle x, y in V und alle a in K. Homomorphe Strukturen sind strukturell ähnlich. Isomorphe Strukturen sind strukturell gleich. Deine Beispiele gehen an der Realität von Vektorräumen und linearen Abbildungen vorbei. Das Unwort bedeutungsgleich solltest du schnell wieder vergessen. |
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