Gammafunktion - Integral - Erwartungswert

30.11.2018, 15:21	Jann3s	Auf diesen Beitrag antworten »
Gammafunktion - Integral - Erwartungswert Meine Frage: Hallo zusammen, ich versuche folgende Gleichungskette nachzuvollziehen. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} \! x^{-\delta} sh \, \mbox{exp}(-shx) \, dx = \mathbb{E}\left[((X/sh)^{-1})^{\delta}\right] =(sh)^{\delta} \Gamma(1-\delta) \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine ZV und $\begin{eqnarray} s,h \end{eqnarray}$ Konstanten Meine Ideen: Ich kenne die Zusammenhänge: Für eine exponentiell-verteilte ZV $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit Erwartungswert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left[X^{\delta}\right] = \int_{0}^{\infty} \! x^{\delta} \, \mbox{exp}(-x) \, dx = \Gamma(1+\delta) \end{eqnarray}$ Doch wie kann ich speziell den Ausdruck $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left[((X/sh)^{-1})^{\delta}\right] \end{eqnarray}$ als Integral schreiben? Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left[((X/sh)^{-1})^{\delta}\right]= \mathbb{E}\left[((sh/X)^{\delta}\right] = (sh)^{\delta} \cdot \mathbb{E}\left[((X)^{-1})^{\delta}\right] \end{eqnarray}$ Der letzte Term müsste ja das Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} \! x^{\delta-2} \, \mbox{exp}(-x) \, dx \Gamma(1-\delta) \end{eqnarray}$ sein. Ich komme aber nicht drauf wie... Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, Lieben Gruß, Jannes
30.11.2018, 16:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für eine stetigen Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit Dichte $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ gilt nicht nur $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left[X\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ , sondern auch $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left[h(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(x)\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ für messbare Funktionen $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Im vorliegenden Fall bedeutet das $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left[\left(\left(\frac{X}{sh}\right)^{-1}\right)^{\delta}\right] = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X}{sh}\right)^{-\delta}\right] = \int\limits_0^{\infty} \left(\frac{x}{sh}\right)^{-\delta} \exp(-x) ~ \dd x = (sh)^{\delta} \int\limits_0^{\infty} x^{-\delta} \exp(-x) ~ \dd x = (sh)^{\delta} \Gamma(1-\delta) \end{eqnarray}$ . Bleibt nur noch nachzuweisen, dass das Integral in dieser Gleichungskette gleich deinem Integral ist, und das gelingt über die Substitution $\begin{eqnarray} x = shy \end{eqnarray}$ .

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