Komplexe Reihe?

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30.11.2018, 19:25

JG97

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Komplexe Reihe?

Ich verstehe leider nur Bahnhof traurig

[attach]48436[/attach]

30.11.2018, 19:35

HLD

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So wie die Aufgabe gestellt ist, denke ich doch mal irgendwo steht noch ein a,b element R?

30.11.2018, 19:41

Leopold

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Stichwort: geometrische Reihe

30.11.2018, 19:42

JG97

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Nö steht echt nirgends, aber ich denke davon können wir ausgehen geschockt

30.11.2018, 19:42

HLD

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Klammer doch mal ein a im Zähler aus und benenne den Bruch a/(1+b^2) neu. Zum Beispiel mit "q". smile

30.11.2018, 19:51

JG97

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Also mittlerweile verstehe ich, wie man auf das kommt Freude

[attach]48437[/attach]

Aber ich kann mir unter der Menge trotzdem gar nichts vorstellen, außer dass sie halt auf der imaginären Achse durch -2 und 2 beschränkt ist smile

Und ich denk, dass das was rechts in der Klammer steht heißt, dass die Reihe konvergiert, aber ich ich verstehe nicht was ich zeichnen muss geschockt

30.11.2018, 19:57

JG97

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ah, es muss gelten, dass a < 5 oder? verwirrt

30.11.2018, 20:03

Leopold

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$\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k < \infty \ \ \Leftrightarrow \ \ |q|<1 \end{align*}$

Wie dir HLD schon gesagt hat, mußt du nur das $\begin{align*} q \end{align*}$ erkennen. Und $\begin{align*} a<5 \end{align*}$ ist notwendig, aber nicht hinreichend. Du mußt eine Bedingung (Ungleichung) zwischen $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ herleiten.

30.11.2018, 20:10

JG97

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a < 1+b² oder? Mit Zunge

30.11.2018, 20:15

Leopold

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Du hast die Betragsstriche unterschlagen.
Wie sieht die Menge geometrisch aus?

30.11.2018, 20:47

JG97

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Zitat:

Original von Leopold
Du hast die Betragsstriche unterschlagen.
Wie sieht die Menge geometrisch aus?

Betrag(a) < 1 + b²

Also auf der imaginären Achse ist sie durch 2 und -2 eingegrenzt.
Und bei der reellen Achse von -5 bis 5? (ausschließlich)

Das kann so aber noch nicht ganz stimmen, weil für a = 4 und b = 0 die Bedingung nicht erfüllt wäre.

Wenn man die Ungleichung umstellt
b² > Betrag(a) - 1
b > (Betrag(a)-1)^0,5

Und wenn man ne Fallunterscheidung macht mit positiven a, dann steht da ja
b > (a-1)^0,5 was ja die Wurzelfunktion um 1 nach rechts verschoben ist
Graphisch dann die Fläche überhalb der verschobenen Wurzelfunktion bis b=2?

Analog dann die andere Seite?

01.12.2018, 08:54

Leopold

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Jetzt wird das durchsichtiger. Es sind aber immer noch ein paar Fehler drin.

Die Auflösung von $\begin{align*} |a| < 1 + b^2 \end{align*}$ nach $\begin{align*} b \end{align*}$ ergibt

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ |b| > \sqrt{|a|-1} \end{align*}$

Überlege, woher die Betragsstriche kommen. Diese Ungleichung gilt für $\begin{align*} |a| \geq 1 \end{align*}$ , also für $\begin{align*} a \geq 1 \end{align*}$ oder für $\begin{align*} a \leq -1 \end{align*}$ . Was ist aber mit $\begin{align*} -1<a<1 \end{align*}$ ? Mach eine Fallunterscheidung, bevor du die Wurzel ziehst.

Auch $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ kann betragsfrei geschrieben werden. Das wird dann zu

$\begin{align*} b > \sqrt{|a|-1} \ \ \text{oder} \ \ b < - \sqrt{|a|-1} \end{align*}$

Die Fallstricke kann man teilweise umgehen, wenn man nicht nach $\begin{align*} b \end{align*}$ , sondern nach $\begin{align*} a \end{align*}$ auflöst. Aus $\begin{align*} |a| < 1 + b^2 \end{align*}$ wird dann

$\begin{align*} - \left( 1 + b^2 \right) < a < 1 + b^2 \end{align*}$

Mit der $\begin{align*} a \end{align*}$ -Achse als reeller und der $\begin{align*} b \end{align*}$ -Achse als imaginärer Achse beschreibt $\begin{align*} a = 1 + b^2 \end{align*}$ eine nach rechts geöffnete (Normal-)Parabel, die bei $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ ihren Scheitel hat. Spiegelbildlich dazu dann links die Parabel $\begin{align*} a = - \left( 1 + b^2 \right) \end{align*}$ . Die Ungleichung $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ kann jetzt mit Hilfe dieser Parabeln geometrisch gedeutet werden.

01.12.2018, 12:51

JG97

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Wow danke

Ich setze mich damit jetzt erstmal auseinander, aber das sieht verständlich aus.

01.12.2018, 13:10

HAL 9000

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Sogar der Boardplotter kann es darstellen, wenn man ihn nur richtig instruiert:

01.12.2018, 13:50

JG97

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Zitat:

Original von Leopold
Jetzt wird das durchsichtiger. Es sind aber immer noch ein paar Fehler drin.

Die Auflösung von $\begin{align*} |a| < 1 + b^2 \end{align*}$ nach $\begin{align*} b \end{align*}$ ergibt

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ |b| > \sqrt{|a|-1} \end{align*}$

Überlege, woher die Betragsstriche kommen. Diese Ungleichung gilt für $\begin{align*} |a| \geq 1 \end{align*}$ , also für $\begin{align*} a \geq 1 \end{align*}$ oder für $\begin{align*} a \leq -1 \end{align*}$ . Was ist aber mit $\begin{align*} -1<a<1 \end{align*}$ ? Mach eine Fallunterscheidung, bevor du die Wurzel ziehst.

Auch $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ kann betragsfrei geschrieben werden. Das wird dann zu

$\begin{align*} b > \sqrt{|a|-1} \ \ \text{oder} \ \ b < - \sqrt{|a|-1} \end{align*}$

Die Fallstricke kann man teilweise umgehen, wenn man nicht nach $\begin{align*} b \end{align*}$ , sondern nach $\begin{align*} a \end{align*}$ auflöst. Aus $\begin{align*} |a| < 1 + b^2 \end{align*}$ wird dann

$\begin{align*} - \left( 1 + b^2 \right) < a < 1 + b^2 \end{align*}$

Mit der $\begin{align*} a \end{align*}$ -Achse als reeller und der $\begin{align*} b \end{align*}$ -Achse als imaginärer Achse beschreibt $\begin{align*} a = 1 + b^2 \end{align*}$ eine nach rechts geöffnete (Normal-)Parabel, die bei $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ ihren Scheitel hat. Spiegelbildlich dazu dann links die Parabel $\begin{align*} a = - \left( 1 + b^2 \right) \end{align*}$ . Die Ungleichung $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ kann jetzt mit Hilfe dieser Parabeln geometrisch gedeutet werden.

Ich habe es jetzt so gemacht, dass ich zwischen b > 0 und b < 0 unterschieden habe und dann jeweils zwischen a > 0 und a < 0. So komme ich auch auf die nach links und nach rechts geöffnete Parabel.

Für den Fall -1 < a < 1 ist keine Gleichung erfüllt, also darf ich das geometrisch nicht anmalen, gel?

01.12.2018, 15:40

Leopold

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Zitat:

Original von JG97
Für den Fall -1 < a < 1 ist keine Gleichung erfüllt, also darf ich das geometrisch nicht anmalen, gel?

Zunächst geht es hier um Ungleichungen. Aber sei's drum. Wenn es um

$\begin{align*} |a| < 1 + b^2 \end{align*}$

geht, sehe ich das ganz anders. Was weißt du denn über den Mindestwert der rechten Seite auf jeden Fall?

01.12.2018, 17:27

JG97

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von JG97
Für den Fall -1 < a < 1 ist keine Gleichung erfüllt, also darf ich das geometrisch nicht anmalen, gel?

Der ist auf jeden Fall > 1, und weil a zwischen -1 und 1 liegt gilt es für alle

Aber wenn man das duch umformt, so wie du das gemacht hast, dann würde unter der Wurzel was negatives stehen...

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