Grenzwert Epsilontik

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grenz05 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Epsilontik
Hallo

Ich soll mit Hilfe der Definition für den Grenzwert einer Folge verifizieren, dass die Folge gegen 2 konvergiert.

Es geht um die Folge

Mein Ansatz:



Durch Umformen und etwas Abschätzen erhalte ich damit:

wobei die letzte Ungleichung genau dann erfüllt ist, wenn z.B. und damit gilt.

War es das schon oder habe ich etwas vergessen bzw. falsch gemacht ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip bist du auf dem richtigen Weg, aber ist im allgemeinen keine natürliche Zahl. Wie erkennt man dann, dass die Bedingung für alle gilt ?
grenz05 Auf diesen Beitrag antworten »

Eijeijei, so mit das Wichtigste habe ich nicht beachtet. Finger1

Neuer Versuch:

Mit gibt es nach dem Archimedischem Axiom ein und daher folgt direkt

für alle

Passt es jetzt ? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig gut. Freude
grenz05 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank. smile

Das heißt, dass man bei solchen Grenzwertbeweisen die Existenz der natürlichen Zahl immer über dieses Axiom von Archimedes sichern kann oder gibt es da noch andere (übliche) Möglichkeiten ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man mit der Definition des Grenzwerts über und arbeiten möchte, ist das hier genau der richtige Weg. Üblich und möglich wäre hier auch die Anwendung des Satz von l'Hospital, weil die Folge eine Teilfolge für die Funktion mit dem Grenzwert ist :.
 
 
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