Orthogonal?

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01.12.2018, 22:53	Mesut96	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonal? Meine Frage: Hallo alle zusammen. Ich habe eine Frage und würde mich freuen wenn wir diese hier gemeinsam lösen. Ich bin dabei die Rechenregeln für die Kovarainte Ableitung zu beweisen und bin an ein Hindernis geraten. Zunächst einmal: Sei S eine reguläre Fläche, c: I -> S eine parametrisierte Kurve, sei f: I -> R eine differenziertere Funktion. Seien ferner v und w differenziertere Vertorfender an S längs c. In meinem Beweis muss ich irgendwie zeigen das $\begin{eqnarray} <v N(c(t))> \end{eqnarray}$ Orthogonal zueinander sind (damit mein Beweis klappt). Dabei ist N(c(t)) der Einheitsnormalenvektor im Punkt c(t). Meine Ideen: Meine Idee: Leider keine Idee..
01.12.2018, 23:34	Mesu95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonal? Ich meine Natürlich <v,N(c(t))>. Falls irgendwelche Informationen fehlen oder jemand der Meinung ist das, dass nicht sein kann schreibt mir bitte!
02.12.2018, 11:21	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonal? Wirklich keiner da der mir helfen könnte ? Was mach ich denn falsch das mir keiner antwortet
02.12.2018, 11:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Begriffe sind nichttrivial ("Kovarainte Ableitung","reguläre Fläche") und die Orthographie saumäßig ("differenziertere Funktion","differenziertere Vertorfender"). Da ist das Vergnügen sehr begrenzt, sich in das Thema einzuarbeiten, die Aufgabe zu verstehen und zu lösen.
02.12.2018, 12:51	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis. Ich kann das nachvollziehen. Also ich arbeite mich in mein Bachelor Thema ein. Zunächst einmal arbeite ich mit dem Buch "Elementare Differentialgeometrie" von Christian Bär. Das bedeutet alle Definitionen stammen aus dem Buch. $\begin{eqnarray} \textbf{Definition Kovariante Ableitung} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} S \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ eine reguläre Fläche, sei $\begin{eqnarray} c: I \to S \end{eqnarray}$ eine parametrisierte Kurve, und sei $\begin{eqnarray} v: I \to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ein differenzierbares Vektorfeld an S längs c. Für jeden Punkt $\begin{eqnarray} p \in S \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \Pi_{p}: \mathbb{R}^3 \to T_{p}S \end{eqnarray}$ die Orthogonalprojektion d.h. ist N(p) einer der beiden Einheitsnormalenvektoren an S im Punkt p, so ist $\begin{eqnarray} \Pi_{p}(X)= X-<X,N(p)>N(p) \end{eqnarray}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray} \frac{\nabla}{dt}v(t):= \Pi_{c(t)} ( \dot{v}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t \in I \end{eqnarray}$ , die Kovariante Ableitung von v. Die folgenden Rechenregeln für die Kovariante Ableitung ergeben sich aus der Definition. $\begin{eqnarray} \textbf{Lemma} \end{eqnarray}$ Sei S eine reguläre Fläche, $\begin{eqnarray} c: I \to S \end{eqnarray}$ eine parametrisierte Kurve, sei $\begin{eqnarray} f: I \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Funktion. Seien ferner v und w differenzierbare Vektorfelder an S längs c. Dann sind auch v+w und fv differenzierbare Vektorfelder an S längs c und es gilt: a) Additivität b) Produktregel I : z.z $\begin{eqnarray} \frac{\nabla}{dt}(fv)(t)= \dot{f}(t)v(t)+ f(t) \frac{\nabla}{dt}v(t) \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} \frac{\nabla}{dt}(fv)(t)= \Pi_{c(t)}(\frac{d}{dt}(fv)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \Pi_{c(t)}(\dot{f}v+f\dot{v}) \end{eqnarray}$ Hier wenden wir die Linearität an: $\begin{eqnarray} \dot{f}v-<\dot{f}v,N(c(t))>N(c(t)) + f\dot{v}-f<\dot{v},N(c(t))>N(c(t)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \dot{f}(v-<v,N(c(t))>N(c(t))) + f\frac{\nabla}{dt}v(t) \end{eqnarray}$ hier an der stelle brauche ich das $\begin{eqnarray} <v,N(c(t))> \end{eqnarray}$ Orthogonal zueinander sind, damit ich das gewünschte Ergebnis raus kriege. Ich hoffe jetzt ist das Problem deutlicher.
03.12.2018, 19:17	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal an alle. Ich habe die Lösung im inet gefunden leider ist diese zu kurz gehalten. Vllt hilft es jemanden: Wäre echt schön wenn mir jemand helfen kann.
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03.12.2018, 19:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
"v ist ein ein differenzierbares Vektorfeld an S längs c" heißt nach Definition im Bär $\begin{eqnarray} v(t)\in T_{c(t)}S \end{eqnarray}$ und nach meinem Verständnis ist der Normalenvektor an S doch senkrecht auf dem Tangentialraum (ich verstehe $\begin{eqnarray} T_{c(t)}S \end{eqnarray}$ jedenfalls als Tangentialraum, kann aber falsch liegen).
03.12.2018, 19:41	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo URL doch du hast Recht. Vielen dank für deine Antwort
03.12.2018, 19:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ins Internet schweifen, wenn die Lösung steht so nah

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