Stetige Gleichverteilung: WK "Ereignis A tritt vor B ein"

Neue Frage »

mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Gleichverteilung: WK "Ereignis A tritt vor B ein"
Ich muss folgende Aufgabenstellung lösen:

Zitat:
Die Studenten A und B verabreden sich zwischen 12 und 13 Uhr in der Mensa. Sie erscheinen unabhängig voneinander, wobei die Zeitpunkte ihres Eintreffens im verabredeten Zeitintervall sich durch unabhängige rechteckverteilte Zufallsvariablen beschreiben lassen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) dass beide vor 12 Uhr 30 eintreffen?
b) dass A vor B eintrifft?
c) dass A und B sich treffen, wenn A maximal 20 und B maximal 10 Minuten zu warten bereit ist?


Ich habe dafür eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y)~U(12,13) mit X als das Eintreffen von Student A und Y als das Eintreffen von Student B definiert. Damit und mit den grundsätzlichen Formeln für die stetige Gleichverteilung habe ich a) lösen können. Bei b) stecke ich leider fest. Was ja die Fragestellung bedeutet: X<Y, entsprechend müsste ich P(X<Y) ausrechnen. Das Lösungsbuch gibt dafür folgenden Ansatz:



Ich durchschaue den leider nicht ganz. Meine Überlegung (möglicherweise falsch) dazu ist: Ich integriere die Dichtefunktion innerhalb bestimmter Intervalle, um die jeweilige Fläche zu erhalten und damit die Verteilung der oberen Intervallgrenze. Darum die Berechnung von
, mit 1=f(x,y)=f(12,y<=13): Das gibt mir die Verteilung meines Y. Nun muss die Verteilung von X kleiner sein als die von Y, daher ist das schon mal ein wichtiger Schritt. Aber wie ich dann von dort aus auf den Rest der Formel, i.e. die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner ist, komme, verstehe ich nicht. Bzw. durchblicke ich einfach nicht, inwieweit mir das Integral hilft, die WK von X<Y zu finden.

Ich habe auch versucht, mir das zu skizzieren, aber das hat nicht wirklich geholfen - warum ich das Integral von (12,y) integrieren muss mit den Integralgrenzen (12,13), erschließt sich mir nicht; da verstehe ich nicht, was ich damit kriege...

Wäre sehr dankbar für Tipps!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Einiges ist richtig in deinem Beitrag, einiges aber auch falsch - letzteres trifft z.B. auf f(12,y<=13) zu, das ist schon syntaktisch kompletter Unfug.




ist hier die Dichte des stetigen Zufallsvektors der Ankunftzeiten von . Damit ist



für jede Borelmenge . Für das Ereignis ist diese Menge offenbar zu wählen. Wenn man nun das entstehende Doppelintegral über Fläche so auflöst, dass über die äußere Integration läuft, dann erhält man

.

Da Dichte außerhalb von gleich Null ist, kann man die Integralgrenzen passend kappen und im entsprechend verkleinerten Integrationsbereich dann auch 1 für die Dichte einsetzen: .

Genauso könntest du als äußere Integrationsvariable auch wählen, dann lautet die Formel aber .
 
 
mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!! Ich verstehe jetzt rein rechnerisch, aus welchen Sätzen ich das herleite mit dem, was gegeben ist, und ich kann das anwenden (sicher auch künftig für ähnlich gelagerte Fälle).

Aber warum genau erhalte ich denn damit die Wahrscheinlichkeit für X<Y? Das durchblicke ich immer noch nicht ganz. Sorry, falls diese Erklärung zu viel verlangt ist, aber ich höre von den Borelmengen zum ersten Mal und auch meine Unterlagen schweigen sich dazu weitgehend aus (dort steht bloß die allgemeine Formel, die du auch aufgeschrieben hast, in etwas komplizierterer Form, mit der Erklärung: "es gilt für (geeignete) Integrationsbereiche ", aber leider nicht warum, und selber kann ich es mir nicht herleiten).
mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »

OK, bei (c) stolpere ich schon daran, dass ich das Prinzip leider noch nicht so richtig durchschaut habe.

Das Lösungsbuch gibt folgenden Ansatz her:


mit dem Hinweis, dass man darauf kommt aus Flächenberechnungen zur Lösungs des Integrals für die Teilmengen.

Da passieren viele Dinge, die ich nicht durchschaue. Also ich glaube, ich verstehe, welche Wahrscheinlichkeit da berechnet wird: B kommt spätestens zur gleichen Zeit wie A an inkl. 20-minütiger Wartezeit von A, A kommt spätestens zur gleichen Zeit wie B an inkl. 10-minütiger Wartezeit von B. Dass und wie im zweiten Schritt die Ungleichung mit Y zerlegt wird, ist auch logisch. Aber was dann konkret herauskommt, verstehe ich nicht mehr.

Mein (zugegeben eher geratener) Ansatz war: Ich berechne die entsprechenden Integrale für beide Ereignisse folgendermaßen:

und

Ergibt also 0,5 und das ist leider falsch. Was muss ich umstellen bzw. (wie) hängt das zusammen mit dem Ergebnis aus (b) (die Lösung legt den Zusammenhang nahe, vielleicht aber auch nur Zufall) und geht es da darum, dass ich eigentlich eine Gegenwahrscheinlichkeit berechnen muss und von der Gesamtwahrscheinlichkeit subtrahieren muss - wenn ja, welche (auch das legt die Lösung nahe)? Bin leider sehr verwirrt :/
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mrclndr
aber ich höre von den Borelmengen zum ersten Mal

Dann ersetze "Borelmenge" schlicht durch "Menge". Stimmt zwar nicht ganz, dürfte aber für alle Teilmengen des , die dir in dem Zusammenhang unterkommen werden, stimmen. Augenzwinkern

Zur Berechnung:

"A maximal 20 Minuten warten" heißt und "B maximal 10 Minuten warten" heißt , umgestellt .

Am besten zeichnest du dir das alles mal auf:



Gesucht ist de facto die Fläche zwischen den beiden schrägen Linien, die zudem innerhalb des Quadrates liegt. Ob du das mit Integralen machst oder als "gewöhnliche" Flächenberechnung, ist egal. Ich schätze mal, in dem Lösungsbuch haben sie letzteres gewählt (Quadratfläche minus zwei Dreiecksflächen in gegenüberliegenden Quadraecken).
mrclndr Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke dir!! Das macht um einiges nachvollziehbarer, was da passiert. Ich versteh jetzt, warum die Lösung so ausschaut. Ich werd mir das anschauen und versuchen selbst auszurechnen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »