Nachweis von Injektivität und Surjektivität

02.12.2018, 20:06

Patrick1990

Nachweis von Injektivität und Surjektivität

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der ich nicht weiß wie ich die Injektivität und Surjektivität sauber nachweisen sollte.

Folgende Abbildung:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2, (x,y,z) \mapsto (x+y,y+z) \end{eqnarray*}$

Zur Surjektivität würde ich sagen
$\begin{eqnarray*} (1,1,k), k\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} (1,k+1) \end{eqnarray*}$ , genügt das so?

Oder wie geht man an sowas ran?

Vielen Dank.

02.12.2018, 20:12

Helferlein

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Warum sollte das genügen?
Surjektivität besagt in Worten, dass jedes Element der Zielmenge ein Urbild besitzt. Das hast Du aber für z.B. (5,1) gar nicht gezeigt.
Der Weg, ein mögliches Urbild anzugeben, war hingegen korrekt. Du musst ihn nur auf den kompletten Raum ausweiten.

Für Injektivität musst Du entweder ein Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ finden, das mehr als ein Urbild hat, oder zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} f(v)=f(w) \end{eqnarray*}$ stets v=w folgt.

02.12.2018, 20:34

Patrick1990

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Das hieße

$\begin{eqnarray*} (k,l,m), k,l,m\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} (k+l, l+m) \end{eqnarray*}$

oder?

Bei Injektivität wäre es dann

$\begin{eqnarray*} f(k_1,k_2,k_3) = (k_1+k_2,k_2+k_3) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(l_1,l_2,l_3) = (l_1+l_2,l_2+l_3) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} k_1+k_2=l_1+l_2 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} k_2+k_3=l_2+l_3 \end{eqnarray*}$

oder wie geht man dort vor?

03.12.2018, 00:15

Helferlein

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Beim ersten ist mit nicht klar, was Du mit der Umformulierung bezweckst. Wie willst Du damit zeigen, dass jedes $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein Urbild $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ besitzt?

Beim zweiten: Wenn Du den Beweis für die Injektivität antreten willst, solltest Du so starten. Dein Ziel wäre dann der Nachweis, dass $\begin{eqnarray*} k_i=l_i \end{eqnarray*}$ . Solltest Du hingegen der Meinung sein, dass die Funktion nicht injektiv ist, dann wäre es sinnvoll sich zu überlegen, auf welche Weise man zwei gleiche Bilder erzeugen kann.

03.12.2018, 08:44

Patrick1990

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Zitat:

Original von Helferlein
Beim ersten ist mit nicht klar, was Du mit der Umformulierung bezweckst. Wie willst Du damit zeigen, dass jedes $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein Urbild $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ besitzt?

Ich weiß eben nicht wie ich sowas allgemein zeigen kann, deshalb die Frage.

Zitat:

Original von Helferlein
Beim zweiten: Wenn Du den Beweis für die Injektivität antreten willst, solltest Du so starten. Dein Ziel wäre dann der Nachweis, dass $\begin{eqnarray*} k_i=l_i \end{eqnarray*}$ . Solltest Du hingegen der Meinung sein, dass die Funktion nicht injektiv ist, dann wäre es sinnvoll sich zu überlegen, auf welche Weise man zwei gleiche Bilder erzeugen kann.

Der Nachweis funktioniert bei mir nicht, wenn ich jetzt wähle:
$\begin{eqnarray*} k_1=1, k_2=0, k_3=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l_1=-1,l_2=0,l_3=1 \end{eqnarray*}$ komme ich auf $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ . Somit ist diese Funktion nicht Injektiv oder denke ich da falsch?

03.12.2018, 15:13

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Da denkst du falsch. Die Paare (1,1) und (-1,1) sind doch verschieden. Sie können nicht als Beispiel dienen, dass f nicht injektiv ist. Zu finden sind zwei Tripel $\begin{eqnarray*} (k_1,k_2,k_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (l_1,l_2,l_3) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(k_1,k_2,k_3)=f(l_1,l_2,l_3) \end{eqnarray*}$

03.12.2018, 16:16

Patrick1990

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Da gibt es doch unendlich viele oder nicht?

03.12.2018, 16:45

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In der Tat. Gib mir zwei Big Laugh

03.12.2018, 17:19

Patrick1990

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$\begin{eqnarray*} k_1=l_1=1, k_2=l_2=1, k_3=l_3=1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} k_1=l_1=2, k_2=l_2=2, k_3=l_3=2 \end{eqnarray*}$

oder?

03.12.2018, 17:46

URL

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Ich dachte es wäre aus der Definition der Injektivität klar, dass man zwei verschiedene Tripel $\begin{eqnarray*} (k_1,k_2,k_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (l_1,l_2,l_3) \end{eqnarray*}$ finden muss, für die $\begin{eqnarray*} f(k_1,k_2,k_3)=f(l_1,l_2,l_3) \end{eqnarray*}$ gilt.
Deswegen habe ich vorhin auf die Verschiedenheit nicht mehr ausdrücklich hingewiesen. Es ist aber doch auch offensichtlich, dass für jede Funktion aus $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ folgt. Na gut, vielleicht ist das am Anfang nicht klar.
Wie auch immer, ein Beispiel wären die Tripel $\begin{eqnarray*} (1,0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\frac 1 2 , \frac 1 2 , \frac 1 2 ) \end{eqnarray*}$ . Wenn du noch etwas lernen willst, suche andere Beispiele.

03.12.2018, 23:47

Patrick1990

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Zitat:

Original von URL
Ich dachte es wäre aus der Definition der Injektivität klar, dass man zwei verschiedene Tripel $\begin{eqnarray*} (k_1,k_2,k_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (l_1,l_2,l_3) \end{eqnarray*}$ finden muss, für die $\begin{eqnarray*} f(k_1,k_2,k_3)=f(l_1,l_2,l_3) \end{eqnarray*}$ gilt.
Deswegen habe ich vorhin auf die Verschiedenheit nicht mehr ausdrücklich hingewiesen. Es ist aber doch auch offensichtlich, dass für jede Funktion aus $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ folgt. Na gut, vielleicht ist das am Anfang nicht klar.
Wie auch immer, ein Beispiel wären die Tripel $\begin{eqnarray*} (1,0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\frac 1 2 , \frac 1 2 , \frac 1 2 ) \end{eqnarray*}$ . Wenn du noch etwas lernen willst, suche andere Beispiele.

Vielen Dank, also löst man sowas durch Überlegung. Oder gibts auch einen Algorithmus, der abgearbeitet werden kann?
Klar, ihr sagt nun wieder, dass ich zeigen soll, dass aus f(v)=f(w) stets v=w folgt.
Aber wie geht denn das konkret hier?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}v_1+v_2\\v_2+v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1+w_2\\w_2+w_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Nun kann ich alles in ein Gleichungssystem schreiben, dann hängt es.

Wie ist das nun mit der Surjektivität? Ich kann kein Paar finden, welches kein Urbild hat. Ich wüsste dennoch nicht wie ich es allgemein für diesen Fall aufschreiben sollte.

04.12.2018, 00:30

Helferlein

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Die Abbildung geht vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , also von einem "größeren" Raum in einen "kleineren". Da sollte einem die Logik schon sagen, dass es nicht möglich ist jedes Bild nur einmal zu treffen. Es ist also sinnvoller sich ein Gegenbeispiel zu suchen.
Dazu kannst Du dir hier einen x-beliebiges Bild nehmen und seine Urbilder bestimmen. Nehmen wir mal an, Du hättest Dich für (0/0) entschieden. Dann wäre die Frage, wie (x,y,z) zu wählen ist, damit x+y=0 und y+z=0 gilt.

Zur Surjektivität: Löse das GLS x+y=a und y+z=b nach x,y und z auf und schon hast Du alle Urbilder. Wähle eins davon aus und schon hast Du die Surjektivität gezeigt.

04.12.2018, 09:06

Patrick1990

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Vielen Dank, das ist mir nun schlüssig.

Zitat:

Original von Helferlein
Zur Surjektivität: Löse das GLS x+y=a und y+z=b nach x,y und z auf und schon hast Du alle Urbilder. Wähle eins davon aus und schon hast Du die Surjektivität gezeigt.

Nun habe ich einfach umgestellt:
$\begin{eqnarray*} x=a-y\\y=b-z\\z=b-y \end{eqnarray*}$

und das reicht um die Surjektivität zu zeigen, da jedes Element der Zielmenge ein Urbild besitzt?

04.12.2018, 11:09

Elvis

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Nein, das reicht nicht, aber wenn du y=0 wählst, dann reicht es. Dann ist x=a und z=b, also wird (a,0,b) auf das beliebige Element (a,b) abgebildet.

04.12.2018, 11:21

Patrick1990

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Vielen Dank für eure Hilfe!

04.12.2018, 13:41

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Helferlein
Die Abbildung geht vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , also von einem "größeren" Raum in einen "kleineren". Da sollte einem die Logik schon sagen, dass es nicht möglich ist jedes Bild nur einmal zu treffen.

Mit solchen Aussagen wäre ich vorsichtig. Augenzwinkern

Klar, für lineare Abbildungen wie in dieser Aufgabe ist das richtig.
Es gibt allerdings bijektive Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die dann aber nicht stetig sein können.

Es gilt sogar: Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine unendliche Menge ist, dann sind $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\times M \end{eqnarray*}$ gleichmächtig.

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