Rang, Bild, Kern einer linearen Abbildung

03.12.2018, 10:15

Patrick1990

Rang, Bild, Kern einer linearen Abbildung

Hallo,

habe in nächster Zeit ein paar mehr Fragen, da ich mich versuche in das Thema einzuarbeiten.

Folgende Aufgabe:
lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^3, \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_1+x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll anhand von Rangüberlegungen geprüft werden, ob $\begin{eqnarray*} \vec b=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} \in\operatorname{Bild} f \end{eqnarray*}$ gilt und Die Dimension des Kerns von f angeben.

Meine Überlegung wäre, dass der Rang der Abbildung max. 2 ist, da die dritte Zeile der ersten Zeile gleicht, der Rang kann jedoch bei geeigneter Wahl von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ auch auch eins reduziert werden.

Der Vektor b ist kein Element des Bildes von f und die Dimension des Kerns ist mir unklar - ist die 1?

Wäre für jede Hilfe dankbar.

03.12.2018, 10:48

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RE: Rang, Bild, Kern einer linearen Abbildung

Zitat:

Meine Überlegung wäre, dass der Rang der Abbildung max. 2 ist, da die dritte Zeile der ersten Zeile gleicht,

Gut beobachtet und richtigen Schluss daraus gezogen. Deine Beobachtung allein reicht schon aus, um zu begründen, dass b nicht im Bild von f ist. Die Begründung musst du allerdings noch liefern.

Zitat:

der Rang kann jedoch bei geeigneter Wahl von x2 und x3 auch auch eins reduziert werden.

Das ist allerdings Unfug. Der Rang ist die Dimension des Bildraumes und hängt überhaupt nicht von x2, x3 ab.

03.12.2018, 11:05

Patrick1990

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RE: Rang, Bild, Kern einer linearen Abbildung

Zitat:

Original von URL
Gut beobachtet und richtigen Schluss daraus gezogen. Deine Beobachtung allein reicht schon aus, um zu begründen, dass b nicht im Bild von f ist. Die Begründung musst du allerdings noch liefern.

Reicht es zu sagen, dass der Rang der Abbildung zwei ist und der Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ liegt? Oder bin ich da ganz falsch?

Zitat:

Original von URL
Das ist allerdings Unfug. Der Rang ist die Dimension des Bildraumes und hängt überhaupt nicht von x2, x3 ab.

Ok, wie gebe ich nun noch die Dimension des Kerns von f an?

03.12.2018, 11:21

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RE: Rang, Bild, Kern einer linearen Abbildung
Da liegst du leider ganz falsch. Wenn der Rang zwei ist - was noch zu zeigen ist - dann ist das Bild von f ein zweidimensionaler Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Das Bild von f enthält also natürlich Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , also kommt b da sehr wohl in Frage.
Die Begründung liefert ein Blick auf die erste und dritte Komponente von b.

Die Dimension des Kerns kann man entweder über die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems f(x)=0 bestimmen oder mit dem Rangsatz.

03.12.2018, 11:43

Patrick1990

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Ok, also ich hätte jetzt die drei Einhetsvektoren eingesetzt und bekomme eine Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann kann ich durch Gauß-Algorithmus zeigen, dass eine Nullzeile entsteht und dass der Rang 2 ist.
Somit wäre das gezeigt.

Diese Matrix setze ich in ein LGS $\begin{eqnarray*} A\vec x=\vec b \end{eqnarray*}$ ein.
Dieses LGS ist nicht lösbar, da einmal die Zeile x1+x2=1 und einmal die Zeile x^+x2=-1 vorhanden ist. Somit ist begründet, dass b nicht Element Bild f ist.

Zur Dimension benötige ich weitere Hilfe.

dim(A)=dim(ker(A))+dim(bild(A))

Und wenn ich das richtig verstehe, ist dim(bild(A))=3 und dim(ker(A))=1

03.12.2018, 11:50

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Man kann auch so argumentieren: Im Bild von f sind nur Vektoren, deren erste und dritte Komponente gleich sind. Das ist bei b nicht der Fall.

Zitat:

dim(A)=dim(ker(A))+dim(bild(A))

Stimmt so nicht. Links muss die Dimension des Raumes stehen, auf dem f - oder auch A - definiert ist. Hier also drei.

Zitat:

dim(bild(A))=3

Du hast doch gerade selbst begründet, dass A den Rang zwei hat verwirrt

03.12.2018, 12:39

Patrick1990

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Sorry, mein Fehler. Habe mich da verwirren lassen. Die ganzen Begriffe sind mir noch etwas zu viel im Moment.

Also Vektor b befindet sich nicht im Bild von f und die Dimension von Kern f ist demnach 1+2=3?

03.12.2018, 12:42

Finn_

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RE: Rang, Bild, Kern einer linearen Abbildung

Zitat:

der Rang kann jedoch bei geeigneter Wahl von x2 und x3 auch auch eins reduziert werden.

Das ist allerdings Unfug. Der Rang ist die Dimension des Bildraumes und hängt überhaupt nicht von x2, x3 ab.

Eine »geeignete Wahl« ginge gewissermaßen schon. Man müsste dafür die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einen kleineren Definitionsbereich bilden. Man könnte auch eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb R\to\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ zur Betrachtung hinzuziehen und dann die Verkettung $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ untersuchen.

Das hat natürlich nichts mit der Aufgabe zu tun. Man soll ja $\begin{eqnarray*} \dim\mathrm{Bild}(f) \end{eqnarray*}$ bestimmen und nicht $\begin{eqnarray*} \dim\mathrm{Bild}(f\circ g) \end{eqnarray*}$ .

03.12.2018, 13:46

Patrick1990

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Genau.

Aber stimmt nun meine Überlegung zu dim(kern(f))?

03.12.2018, 15:08

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Ich habe keine Ahnung, wie du auf

Zitat:

Dimension von Kern f ist demnach 1+2=3

kommst. Wäre der Kern dreidimensional, dann wäre hier f die Nullabbildung.

03.12.2018, 15:11

Patrick1990

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Dann weiß ich wohl nicht wie ich auf den Kern von f komme-sorry. Könntest du es mir erklären?

03.12.2018, 15:16

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Du hast doch selbst die Gleichung dim(A)=dim(ker(A))+dim(bild(A)) aufgeschrieben.
Ich habe dir gesagt, dass die linke Seite falsch ist und was dort hingehört. Die Gleichung brauchst du nur noch nach dim(Kern(A)) aufzulösen.

03.12.2018, 16:13

Patrick1990

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Ok, also nochmal.

Kern(f) = Kern(A)?

Ich habe noch eine kleine Lücke mit der Notation dieser Abbildungsvorschriften.

Ich habe ja eine Matrix A erstellt und dachte f wäre nur ein Vektor. Deshalb Kern(f) ungleich Kern(A). Vermutlich haue ich da aber alles durcheinander.

Nachtrag:
Ok ich glaube ich habe es jetzt begriffen.
Vielen Dank.

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