Fixpunktiteration: Funktion auf Voraussetzungen prüfen

03.12.2018, 19:03

mrclndr

Fixpunktiteration: Funktion auf Voraussetzungen prüfen

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Gegeben ist die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x+e^x-2 \end{eqnarray*}$

Man bestimme die Nullstelle der Funktion (im Intervall [0,1]) durch Fixpunkt-Iteration, Startpunkt $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$
Hinweis: Prüfen Sie, ob die Voraussetzungen für die Fixpunktiteration erfüllt sind. Gegebenenfalls wird man die Voraussetzungen durch geeignete Transformationen herstellen.

Ich hab mir mit der Hilfe von YouTube-Videos folgenden Ansatz erschlossen:
1. Ich setze f(x)=0
2. Ich forme 0=f(x) nach x um
3. Ich iteriere über die so entstandene Funktion (nennen wir sie g(x)), beginnend mit x_0=0 (gemäß der Angabe). Diese gibt mir (klarerweise) das x, das f(x)=0 wahr macht.

Bei mir ergibt dieser Prozess eine Funktion g(x)=log(2-x). Diese konvergiert auch sehr rasch gegen die Nullstelle von f(x), den ich probehalber mit WolframAlpha ausgerechnet habe (die 14. Iteration gibt 0.440828... aus, die tatsächliche Nullstelle, wie angenähert durch WA, liegt bei rund 0.442854, auch die folgenden Iterationen landen so zwischen 0.440... und 0.443...).

Für mich sind, weil ich mich leider eher zu diesem Ergebnis hindilettiert habe, zwei Sachen aber noch nicht ganz klar (falls ich überhaupt bis zu diesem Punkt korrekt überlegt habe):
(1) Was bedeutet es, die Voraussetzungen für die Fixpunktiteration zu erfüllen? Wie prüfe ich das denn z.B. an f(x)?
(2) Was würde es denn heißen, f(x) zu transformieren, um die Voraussetzungen herzustellen? Da kann ich mir gar nix vorstellen leider. Oder soll mir das alles einfach sagen, dass ich ein vernünftiges g(x)=x für f(x)=0 finden soll, und nicht gleich mit f(x) die Fixpunktiteration starten soll?

Sorry für die vielleicht etwas allgemeinen Fragen (ich freu mich auch über Feedback zu meinem Lösungsansatz -- ob das so sinnvoll oder ausreichend ist; z.B. bin ich nicht ganz sicher, ab welcher Iteration ich denn aufhören darf) und danke schon einmal fürs Durchlesen!

03.12.2018, 19:32

mrclndr

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Ergänzung: Ich hab noch eine Vorlesungsfolie zu den Konvergenzkriterien der Fixpunktiteration gefunden. g(x) ist dann geeignet, wenn der Betrag von g'(x)<1 (mit einem x, für das näherungsweise gilt: g(x)=x) ist, oder? Da kommt bei mir z.B. g'(0.440828)=-0.059172 raus, passt also.

Allerdings habe ich dann zu diesem Punkt schon relativ häufig iteriert. Wäre es auch ein gültiges Kriterium für die Konvergenz, wenn ich g'(x_0)=g'(0)=1/2 herauskriege, auch wenn g(x_0)=g(0)=x=0 natürlich überhaupt nicht gilt (g(0) ist ja log(2))?

03.12.2018, 20:10

Finn_

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RE: Fixpunktiteration: Funktion auf Voraussetzungen prüfen
Ich weiß nicht genau welche Sätze ihr schon hattet und habe mich mit dem Thema bisher nur rudimentär beschäftigt. Aber mit den folgenden Einsichten, denke ich, wird man irgendwo Land finden.

Hinreichendes Konvergenzkriterium
Wenn die Gleichung $\begin{eqnarray*} x=\varphi(x) \end{eqnarray*}$ in einem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ eine Lösung besitzt, $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} |\varphi'(x)|<k<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in[a,b] \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\varphi(x_n) \end{eqnarray*}$ für alle Startwerte $\begin{eqnarray*} x_0\in[a,b] \end{eqnarray*}$ .

Dass die Gleichung überhaupt eine Lösung besitzt, kann man wohl mit dem Zwischenwertsatz absichern.

Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Kontraktion_(Mathematik).

Kontraktionen und der Fixpunktsatz von Banach sind schon etwas advanced. Beachte dazu am besten:

Eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm\infty\} \end{eqnarray*}$ ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Beachte auch, dass in der Analysis ständig Einschränkungen von Funktionen auf einen kleineren Definitionsbereich betrachtet werden. Was die Funktion dann außerhalb des Definitionsbereiches tut, ist bedeutungslos.

Transformieren bedeutet im Zusammenhang mit Fixpunktgleichungen, dass eine Gleichung auf unterschiedliche Art in eine Fixpunktgleichung umgeformt werden kann. Eine Umformung kann für die Fixpunktiteration günstig sein oder auch nicht, je nachdem wie sich das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=\varphi(x) \end{eqnarray*}$ verhält.

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