Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe

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Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Hallo,

und eine weitere Frage von mir.
Ich soll prüfen, ob die Aussage zutrifft, dass für jedes eine Untergruppe von ist.
Weiterhin soll ich eine Begründung liefern.

Meine Überlegung:
- ist die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Additon als Verknüpfung
- , so dass und
- mit , da eine Gruppe ist

Aber genügt das schon so?


Weiterhin soll ich die Multiplikationstafel für angeben und begründen, wieso eine multiplikative Gruppe bildet.


Meine Überlegung:
-
- Tabelle:



Stimmt das bisher so?
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RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Streng genommen muss man sich noch überlegen, dass nicht leer ist.
Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn für zwei beliebige Elemente a,b von U auch a-b in U ist.
Mit deiner Vorarbeit ist das aber ein Klacks.

In deiner Multiplikationstafel stehen Elemente, die nicht in deiner Definition von enthalten sind. Das musst du noch anpassen.
 
 
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Zitat:
Original von URL
Streng genommen muss man sich noch überlegen, dass nicht leer ist.
Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn für zwei beliebige Elemente a,b von U auch a-b in U ist.
Mit deiner Vorarbeit ist das aber ein Klacks.


Also U wäre in dem Fall und G wäre oder?
Dann würde ich schreiben:
, mit , aber das ist nun keine Untergruppe von oder wie kann ich das verstehen?



In deiner Multiplikationstafel stehen Elemente, die nicht in deiner Definition von enthalten sind. Das musst du noch anpassen.[/quote]

Ok, wäre sie nun korrekt?

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RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Zitat:
Also U wäre in dem Fall und G wäre oder?

Richtig.
Zitat:
aber das ist nun keine Untergruppe von

Welches "das" ist keine Untergruppe?
Du hast gerade gezeigt, dass für auch ist. Also ist Untergruppe von
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Zitat:

Welches "das" ist keine Untergruppe?
Du hast gerade gezeigt, dass für auch ist. Also ist Untergruppe von



Ok, mich irritiert es, dass ich nun hier a-b schreibe und oben etwas mit (Z,+) stehen habe. Aber in diesem Fall sollte ja nur gezeigt werden, dass U eine nichtleere Teilmenge von G ist.


Also nochmal zusammenfassend:

Die Aussage trifft zu, ich zeige es so wie oben und zeige zusätzlich, dass nZ nicht leer ist und dann ist die Aufgabe beantwortet.


Wie kann ich nun noch bei der zweiten Teilaufgabe begründen, dass eine multiplikative Gruppe bildet?
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RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Ich habe das Gefühl, du missverstehst das. Zuerst überlegt man sich, dass eine nichtleere Teilmenge von ist. Das ist eine triviale Sache aber auch eine notwendige Voraussetzung, damit überhaupt eine Chance hat, Untergruppe von zu sein.

Dann zeigt man, dass tatsächlich eine Untergruppe ist. Dafür benutzt man z.B. die Charakterisierung, die ich dir gegeben habe: Für beliebige ist immer auch gelten.

Im zweiten Teil musst du nur noch begründen, dass deine Verknüpfung assoziativ ist.
Wenn du das hast, folgt aus der Verknüpfungstafel, dass es sich um eine Gruppe handelt, weil in jeder Spalte und in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommt (überleg dir, warum es dann eine Gruppe ist).
Aus der Symmetrie der Tafel ergibt sich zudem, dass die Gruppe kommutativ ist.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich tatsächlich missverstanden.

Wie zeige ich denn zunächst allgemein, dass eine nichtleere Teilmenge ist?
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Hm, wie immer verwirrt Gib ein Element von an. Zeige dann, dass jedes Element von auch in liegt.
An der Stelle ist es vielleicht hilfreich zu überlegen, wie denn überhaupt definiert ist. Du weißt ja nichts von der Multiplikation in sondern kennst nur die Addition.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Hm, wie immer verwirrt Gib ein Element von an. Zeige dann, dass jedes Element von auch in liegt.
An der Stelle ist es vielleicht hilfreich zu überlegen, wie denn überhaupt definiert ist. Du weißt ja nichts von der Multiplikation in sondern kennst nur die Addition.



Ok das ist mir gerade alles zu abstrakt, ich versuchs mal:

,

,
mit


So in etwa?
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Genau so Freude
Es ist , weil ist und die Addition ja nicht aus heraus führt. Damit ist .
Ein konkretes Element in ist z.B n.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Ok vielen Dank.

Zitat:

Dann zeigt man, dass tatsächlich eine Untergruppe ist. Dafür benutzt man z.B. die Charakterisierung, die ich dir gegeben habe: Für beliebige ist immer auch gelten.


Das ist ja oben schon erfolgt.

Nun stellt sich mit noch die Frage mit dem aus der Aufgabenstellung - das ist mit meinem ersten Beitrag zu auch beantwortet oder?

Dann widme ich mich nun dem zweiten Teil.
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RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Zitat:
Nun stellt sich mit noch die Frage mit dem aus der Aufgabenstellung

Welche Frage meinst du denn noch?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
"...prüfen, ob die Aussage zutrifft, dass für jedes eine Untergruppe von ist."

Nachdem geprüft wurde, dass nZ eine nichtleere Teilmenge von Z ist und nZ eine Untergruppe von Z ist
noch die finale Aussage:

Ja, die Aussage trifft zu, denn:

- , so dass und
- mit , da eine Gruppe ist



Ist so nun alles vollständig?
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RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Was machst du denn?? geschockt Was glaubst du denn noch zeigen zu müssen, "Nachdem geprüft wurde, dass nZ eine nichtleere Teilmenge von Z ist und nZ eine Untergruppe von Z ist"
Was soll denn da noch fehlen?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Sorry, aber ich habe nicht dein mathematisches Verständnis.
Für mich sieht es so aus, als hätte ich nichts hinsichtlich (Z,+) betrachtet.

Anscheinend bin ich blind, jedoch würde ichs gern verstehen.

Also wenn ich das so sehe habe ich nun folgendes gemacht:

1) Gezeigt, dass nZ eine nichtleere Teilmenge von Z ist
2) Gezeigt, dass nZ eine Untergruppe von Z ist

(nun frage ich mich: Ich sollte zeigen, dass nZ eine Untergruppe von (Z,+) ist)
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RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Zitat:
Gezeigt, dass nZ eine Untergruppe von Z ist

Also wenn wir das gezeigt haben, dann muss da auch eine Verknüpfung im Spiel sein. Andernfalls kann man nicht von einer Gruppe und schon gar nicht von einer Untergruppe reden. Welche Verknüpfung haben wir denn benutzt?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben die Addition genutzt, um zu zeigen, dass es sich um eine nicht leere Teilmenge handelt und die Subtraktion, um zu zeigen ,dass es sich um eine Untergruppe handelt.

Meiner Meinung nach..

Also steckt die Addition schon mit drin und somit ist Aufgabenteil a abgeschlossen?
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Es gibt keine Subtraktion. Nach Definition ist und ist wiederum nach Definition das zu (additiv) inverse Element. Wir haben also a das Element -b addiert.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das war mir neu, jedoch verstehe ich es nun.
Danke.

Zu Teil 2:

Ich habe mir aus der Tabelle einfach beliebig zwei Beispiele gewählt und Assoziativität gezeigt (gilt sicher jedoch noch nicht allgemein):


und


das kommt soweit hin, weiterhin kann man Kommutativität anhand der Symmetrie zur Hauptdiagonalen zeigen.
So habe ich es zumindest gelesen.

Somit ist wohl gezeigt, dass es sich um eine multiplikative Gruppe handelt.

Es kommen in jeder Zeile und jeder Spalte die Elemente jeweils nur einmal vor, da es sich um eine endliche Gruppe handelt.

Weiterhin habe ich etwas von Bijektivität gelesen, jedoch weiß ich nicht ganz wie ich das hier in den Zusammenhang bringen kann.
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Beispiel sind kein Beweis, wie du richtig bemerkt hast. Die Assoziativität muss man eben durchackern. Immerhin kann man sich wegen der Kommutativität ein paar Fälle sparen.
Ich vermute
Zitat:
ist nur ein Tippfehler.

Nachdem ich nicht weiß, was du gelesen hast, sehe ich da auch keinen Zusammenhang smile
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist nur ein Tippfehler, sorry.

Also einfach jede Kombination testen, ok.

Könntest du mir dann dennoch sagen, auf was ich kommen sollte, wenn du sagst "...folgt aus der Verknüpfungstafel, dass es sich um eine Gruppe handelt, weil in jeder Spalte und in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommt (überleg dir, warum es dann eine Gruppe ist). " ?
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Wenn du die Assoziativität gezeigt hast, dann fehlen noch das neutrale Element und die Existenz eines Inversen.
Die Existenz des neutralen Elements steht in der ersten Zeile der Tafel. Weil in jeder Zeile die 1 vorkommt, gibt es zu jedem Element ein Inverses.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Weil in jeder Zeile die 1 vorkommt, gibt es zu jedem Element ein Inverses.



Das habe ich noch nicht ganz verstanden. Wo kommt das genau her?
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Dann überleg dir zuerst, was hier zu zeigen ist.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Das inverse Element der Gruppe ist hier zu zeigen oder?
Das hat scheinbar auch mit dem neutralen Element zu tun.
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Das inverse Element einer Gruppe gibt es nicht. Schau die Definitionen nach Lesen2
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sorry,
zu jedem Gruppenelement existiert ein inverses Element mit .

Nun jedoch frage ich mich, wie beispielsweise sein kann, wenn nur die Elemente 1,2,3,4 beinhaltet.

Wo ist mein Fehler?
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Dein Fehler ist, dass du dich an Bezeichnungen klammerst.
Man hätte genausogut schreiben können: Zu jedem gibt es ein mit und schon hättest du dich nicht mehr gewundert, oder?
ist die gängige Bezeichnung für das Inverse von a.
Und jetzt geh mal auf die Suche nach dem Inversen von 2 in deiner Gruppe. Dabei hilft ein Blick in die Multiplikationstafel
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Dein Fehler ist, dass du dich an Bezeichnungen klammerst.
Man hätte genausogut schreiben können: Zu jedem gibt es ein mit und schon hättest du dich nicht mehr gewundert, oder?

Ja, genau.


Zitat:
Original von URL
Und jetzt geh mal auf die Suche nach dem Inversen von 2 in deiner Gruppe. Dabei hilft ein Blick in die Multiplikationstafel

Hier hängt es jedoch, und das sehe ich in dieser Tafel leider nicht.
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Du hängst noch immer an Bezeichnungen unglücklich
Finde ein b mit 2b=1
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Du hängst noch immer an Bezeichnungen unglücklich
Finde ein b mit 2b=1


Wäre jetzt b=3 laut Tabelle?
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Korrekt
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann weiß ich nun wo das her kommt. Vielen Dank für die große Hilfe.
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