Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe |
04.12.2018, 10:35 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe und eine weitere Frage von mir. Ich soll prüfen, ob die Aussage zutrifft, dass für jedes eine Untergruppe von ist. Weiterhin soll ich eine Begründung liefern. Meine Überlegung: - ist die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Additon als Verknüpfung - , so dass und - mit , da eine Gruppe ist Aber genügt das schon so? Weiterhin soll ich die Multiplikationstafel für angeben und begründen, wieso eine multiplikative Gruppe bildet. Meine Überlegung: - - Tabelle: Stimmt das bisher so? |
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04.12.2018, 10:56 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe Streng genommen muss man sich noch überlegen, dass nicht leer ist. Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn für zwei beliebige Elemente a,b von U auch a-b in U ist. Mit deiner Vorarbeit ist das aber ein Klacks. In deiner Multiplikationstafel stehen Elemente, die nicht in deiner Definition von enthalten sind. Das musst du noch anpassen. |
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04.12.2018, 11:20 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Also U wäre in dem Fall und G wäre oder? Dann würde ich schreiben: , mit , aber das ist nun keine Untergruppe von oder wie kann ich das verstehen? In deiner Multiplikationstafel stehen Elemente, die nicht in deiner Definition von enthalten sind. Das musst du noch anpassen.[/quote] Ok, wäre sie nun korrekt? |
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04.12.2018, 11:32 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Richtig.
Welches "das" ist keine Untergruppe? Du hast gerade gezeigt, dass für auch ist. Also ist Untergruppe von |
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04.12.2018, 11:47 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Ok, mich irritiert es, dass ich nun hier a-b schreibe und oben etwas mit (Z,+) stehen habe. Aber in diesem Fall sollte ja nur gezeigt werden, dass U eine nichtleere Teilmenge von G ist. Also nochmal zusammenfassend: Die Aussage trifft zu, ich zeige es so wie oben und zeige zusätzlich, dass nZ nicht leer ist und dann ist die Aufgabe beantwortet. Wie kann ich nun noch bei der zweiten Teilaufgabe begründen, dass eine multiplikative Gruppe bildet? |
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04.12.2018, 12:22 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe Ich habe das Gefühl, du missverstehst das. Zuerst überlegt man sich, dass eine nichtleere Teilmenge von ist. Das ist eine triviale Sache aber auch eine notwendige Voraussetzung, damit überhaupt eine Chance hat, Untergruppe von zu sein. Dann zeigt man, dass tatsächlich eine Untergruppe ist. Dafür benutzt man z.B. die Charakterisierung, die ich dir gegeben habe: Für beliebige ist immer auch gelten. Im zweiten Teil musst du nur noch begründen, dass deine Verknüpfung assoziativ ist. Wenn du das hast, folgt aus der Verknüpfungstafel, dass es sich um eine Gruppe handelt, weil in jeder Spalte und in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommt (überleg dir, warum es dann eine Gruppe ist). Aus der Symmetrie der Tafel ergibt sich zudem, dass die Gruppe kommutativ ist. |
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04.12.2018, 12:37 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich tatsächlich missverstanden. Wie zeige ich denn zunächst allgemein, dass eine nichtleere Teilmenge ist? |
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04.12.2018, 12:46 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, wie immer Gib ein Element von an. Zeige dann, dass jedes Element von auch in liegt. An der Stelle ist es vielleicht hilfreich zu überlegen, wie denn überhaupt definiert ist. Du weißt ja nichts von der Multiplikation in sondern kennst nur die Addition. |
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04.12.2018, 12:59 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok das ist mir gerade alles zu abstrakt, ich versuchs mal: , , mit So in etwa? |
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04.12.2018, 13:17 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau so Es ist , weil ist und die Addition ja nicht aus heraus führt. Damit ist . Ein konkretes Element in ist z.B n. |
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04.12.2018, 13:40 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe Ok vielen Dank.
Das ist ja oben schon erfolgt. Nun stellt sich mit noch die Frage mit dem aus der Aufgabenstellung - das ist mit meinem ersten Beitrag zu auch beantwortet oder? Dann widme ich mich nun dem zweiten Teil. |
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04.12.2018, 14:45 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Welche Frage meinst du denn noch? |
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04.12.2018, 14:50 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe "...prüfen, ob die Aussage zutrifft, dass für jedes eine Untergruppe von ist." Nachdem geprüft wurde, dass nZ eine nichtleere Teilmenge von Z ist und nZ eine Untergruppe von Z ist noch die finale Aussage: Ja, die Aussage trifft zu, denn: - , so dass und - mit , da eine Gruppe ist Ist so nun alles vollständig? |
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04.12.2018, 14:54 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe Was machst du denn?? Was glaubst du denn noch zeigen zu müssen, "Nachdem geprüft wurde, dass nZ eine nichtleere Teilmenge von Z ist und nZ eine Untergruppe von Z ist" Was soll denn da noch fehlen? |
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04.12.2018, 14:59 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe Sorry, aber ich habe nicht dein mathematisches Verständnis. Für mich sieht es so aus, als hätte ich nichts hinsichtlich (Z,+) betrachtet. Anscheinend bin ich blind, jedoch würde ichs gern verstehen. Also wenn ich das so sehe habe ich nun folgendes gemacht: 1) Gezeigt, dass nZ eine nichtleere Teilmenge von Z ist 2) Gezeigt, dass nZ eine Untergruppe von Z ist (nun frage ich mich: Ich sollte zeigen, dass nZ eine Untergruppe von (Z,+) ist) |
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04.12.2018, 15:08 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aussagen zu Untergruppe, Multiplikationstafel, multiplikative Gruppe
Also wenn wir das gezeigt haben, dann muss da auch eine Verknüpfung im Spiel sein. Andernfalls kann man nicht von einer Gruppe und schon gar nicht von einer Untergruppe reden. Welche Verknüpfung haben wir denn benutzt? |
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04.12.2018, 15:11 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben die Addition genutzt, um zu zeigen, dass es sich um eine nicht leere Teilmenge handelt und die Subtraktion, um zu zeigen ,dass es sich um eine Untergruppe handelt. Meiner Meinung nach.. Also steckt die Addition schon mit drin und somit ist Aufgabenteil a abgeschlossen? |
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04.12.2018, 15:58 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt keine Subtraktion. Nach Definition ist und ist wiederum nach Definition das zu (additiv) inverse Element. Wir haben also a das Element -b addiert. |
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04.12.2018, 16:15 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok das war mir neu, jedoch verstehe ich es nun. Danke. Zu Teil 2: Ich habe mir aus der Tabelle einfach beliebig zwei Beispiele gewählt und Assoziativität gezeigt (gilt sicher jedoch noch nicht allgemein): und das kommt soweit hin, weiterhin kann man Kommutativität anhand der Symmetrie zur Hauptdiagonalen zeigen. So habe ich es zumindest gelesen. Somit ist wohl gezeigt, dass es sich um eine multiplikative Gruppe handelt. Es kommen in jeder Zeile und jeder Spalte die Elemente jeweils nur einmal vor, da es sich um eine endliche Gruppe handelt. Weiterhin habe ich etwas von Bijektivität gelesen, jedoch weiß ich nicht ganz wie ich das hier in den Zusammenhang bringen kann. |
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04.12.2018, 17:05 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beispiel sind kein Beweis, wie du richtig bemerkt hast. Die Assoziativität muss man eben durchackern. Immerhin kann man sich wegen der Kommutativität ein paar Fälle sparen. Ich vermute
Nachdem ich nicht weiß, was du gelesen hast, sehe ich da auch keinen Zusammenhang |
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04.12.2018, 18:02 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist nur ein Tippfehler, sorry. Also einfach jede Kombination testen, ok. Könntest du mir dann dennoch sagen, auf was ich kommen sollte, wenn du sagst "...folgt aus der Verknüpfungstafel, dass es sich um eine Gruppe handelt, weil in jeder Spalte und in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommt (überleg dir, warum es dann eine Gruppe ist). " ? |
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04.12.2018, 19:27 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du die Assoziativität gezeigt hast, dann fehlen noch das neutrale Element und die Existenz eines Inversen. Die Existenz des neutralen Elements steht in der ersten Zeile der Tafel. Weil in jeder Zeile die 1 vorkommt, gibt es zu jedem Element ein Inverses. |
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05.12.2018, 09:20 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich noch nicht ganz verstanden. Wo kommt das genau her? |
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05.12.2018, 11:37 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann überleg dir zuerst, was hier zu zeigen ist. |
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05.12.2018, 12:42 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das inverse Element der Gruppe ist hier zu zeigen oder? Das hat scheinbar auch mit dem neutralen Element zu tun. |
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05.12.2018, 12:51 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das inverse Element einer Gruppe gibt es nicht. Schau die Definitionen nach |
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05.12.2018, 13:09 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh sorry, zu jedem Gruppenelement existiert ein inverses Element mit . Nun jedoch frage ich mich, wie beispielsweise sein kann, wenn nur die Elemente 1,2,3,4 beinhaltet. Wo ist mein Fehler? |
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05.12.2018, 13:16 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein Fehler ist, dass du dich an Bezeichnungen klammerst. Man hätte genausogut schreiben können: Zu jedem gibt es ein mit und schon hättest du dich nicht mehr gewundert, oder? ist die gängige Bezeichnung für das Inverse von a. Und jetzt geh mal auf die Suche nach dem Inversen von 2 in deiner Gruppe. Dabei hilft ein Blick in die Multiplikationstafel |
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05.12.2018, 13:31 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, genau.
Hier hängt es jedoch, und das sehe ich in dieser Tafel leider nicht. |
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05.12.2018, 13:36 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hängst noch immer an Bezeichnungen Finde ein b mit 2b=1 |
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05.12.2018, 13:39 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wäre jetzt b=3 laut Tabelle? |
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05.12.2018, 13:43 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Korrekt |
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05.12.2018, 13:44 | Patrick1990 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann weiß ich nun wo das her kommt. Vielen Dank für die große Hilfe. |
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