Reihen

05.12.2018, 03:00

besbes

Reihen

Meine Frage:
Ist das richtig zu sagen, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent ist, so ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ konvergent?

Meine Ideen:
.

05.12.2018, 08:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von besbes
Ist das richtig zu sagen, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent ist, so ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ konvergent?

Die Aussage ist falsch. Bei der Suche nach einem Gegenbeispiel sollte der Hinweis helfen, dass die leicht geänderte Aussage

Zitat:

Original von besbes
Wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, so ist auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \end{eqnarray*}$ konvergent.

richtig ist.

D.h., das Gegenbeispiel wird auf jeden Fall eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe sein, d.h. eine Reihe mit unendlich vielen positiven wie negativen Gliedern, etwa eine alternierende Reihe.

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