Identität hyperbolischer Fkt

05.12.2018, 11:34

MatheFredo

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Identität hyperbolischer Fkt

Weisen Sie für die hyperbolischen Funktionen die Darstellungen

sinh z = $\begin{eqnarray*} \frac{sin (iz)}{i} \end{eqnarray*}$

sowie

cosh z = cos (iz)

nach.

Mein Ansatz:

sinh z = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^z-e^{-z}) }{2} \end{eqnarray*}$ , z $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

sin (iz) = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^{i^2*(iz)}-e^{-i^2*(-iz)}) }{2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^z-e^{-z}) }{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^{i^2*(iz)}-e^{-i^2*(-iz)}) }{2i} \end{eqnarray*}$

e^z= cos z (der Imaginärteil entfällt hier?)

e^(-z)= 1/(e^z)= 1/(cos z)

e^(-iz)=1/(e^(iz))= 1/(Cos z + i sin z)= (cosz - i sin z)/ (cos^2 z + sin^2 z ) =cos z - i sin z

Der Nenner wird 1.

Also kommen wir auf:

(cos z - 1)/ (2 cos z) = (cos z - i sin z - (cos z- i sin z)/2

1/2 = 1/2 ?

Wäre das so korrekt? Willkommen

Willkommen

05.12.2018, 11:45

URL

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RE: Identität hyperbolischer Fkt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sin(iz)= \frac{(e^{i^2*(iz)}-e^{-i^2*(-iz)}) }{2} \end{eqnarray*}$

verstehe ich schon nicht.

05.12.2018, 11:51

MatheFredo

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RE: Identität hyperbolischer Fkt

Zitat:

Original von URL

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^{i^2*(iz)}-e^{-i^2*(-iz)}) }{2} \end{eqnarray*}$

verstehe ich schon nicht.

Es gilt sin $\begin{eqnarray*} {\varphi} \end{eqnarray*}$ = 1/(2i)* (e^(iphi)-e^(-iphi))

Folglich sin (iz)= 1/(2i)*(e^(i(iz))- e^(-i(iz))
?

05.12.2018, 11:54

URL

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RE: Identität hyperbolischer Fkt
Das i im Nenner fehlt(e). Woher kommen denn dann die Quadrate im Exponenten?
Edit: Ah, soll das jetzt die richtige Gleichung sein? Mit der kann ich leben.

05.12.2018, 12:00

MatheFredo

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RE: Identität hyperbolischer Fkt

Zitat:

Original von MatheFredo
Weisen Sie für die hyperbolischen Funktionen die Darstellungen

sinh z = $\begin{eqnarray*} \frac{sin (iz)}{i} \end{eqnarray*}$

sowie

cosh z = cos (iz)

nach.

Mein Ansatz:

sinh z = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^z-e^{-z}) }{2} \end{eqnarray*}$ , z $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

sin (iz) = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^{i^2*(iz)}-e^{-i^2*(-iz)}) }{2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(e^z-e^{-z}) }{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^{i^2*(iz)}-e^{-i^2*(-iz)}) }{2i} \end{eqnarray*}$

e^z= cos z (der Imaginärteil entfällt hier?)

e^(-z)= 1/(e^z)= 1/(cos z)

e^(-iz)=1/(e^(iz))= 1/(Cos z + i sin z)= (cosz - i sin z)/ (cos^2 z + sin^2 z ) =cos z - i sin z

Der Nenner wird 1.

Also kommen wir auf:

(cos z - 1)/ (2 cos z) = (cos z - i sin z - (cos z- i sin z)/2

-1/2 = - 1/2 ?

Wäre das so korrekt? Willkommen

Willkommen

Habe es nochmal überarbeitet. Die Quadrate im Exponenten kommen zustande, wenn ich die Gleichung aus meinem vorherigen Beitrag im Exponenten ausmultpliziere.

05.12.2018, 12:05

URL

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RE: Identität hyperbolischer Fkt
Verstehe ich noch immer nicht. Für mich sollte da z.B. stehen $\begin{eqnarray*} e^{i(iz)}=e^{i^2z} \end{eqnarray*}$ bei dir steht $\begin{eqnarray*} e^{i^2(iz)} \end{eqnarray*}$

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05.12.2018, 12:06

MatheFredo

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RE: Identität hyperbolischer Fkt
Ist mir gerade auch aufgefallen. Ich überarbeite es gerade. smile

smile

05.12.2018, 12:22

MatheFredo

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RE: Identität hyperbolischer Fkt
ich komme am Ende auf:

(cos z -1)/(2*cos z) = -(1-cos z)/(2cos z)

0=0

Stimmt es denn so?

05.12.2018, 12:29

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RE: Identität hyperbolischer Fkt
Ich habe keine Ahnung, was du da machst und wegen

Zitat:

e^z= cos z (der Imaginärteil entfällt hier?)

bin ich ziemlich skeptisch, dass das stimmen wird.
Wenn du $\begin{eqnarray*} \sin (iz)= \frac {1}{2i} \left(e^{i(iz)}- e^{-i(iz)}\right) \end{eqnarray*}$ , steht es doch praktisch schon da. Vereinfach die Exponenten und schau die Definition von sinh(z) an

05.12.2018, 12:36

MatheFredo

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RE: Identität hyperbolischer Fkt
[quote]Original von MatheFredo
[quote]Original von MatheFredo
Weisen Sie für die hyperbolischen Funktionen die Darstellungen

sinh z = $\begin{eqnarray*} \frac{sin (iz)}{i} \end{eqnarray*}$

sowie

cosh z = cos (iz)

nach.

Mein Ansatz:

sinh z = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^z-e^{-z}) }{2} \end{eqnarray*}$ , z $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

sin (iz) = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^{i^2*z}-e^{-i^2*z)} }{2i} \end{eqnarray*}$

e^z= cos z oder würde es lauten cos z + i * sin z

das i taucht nicht im Exponenten auf.

e^(-z)= 1/(e^z)= 1/(cos z)

e^(-iz)=1/(e^(iz))= 1/(Cos z + i sin z)= (cosz - i sin z)/ (cos^2 z + sin^2 z ) =cos z - i sin z

Der Nenner cos^2 z + sin^2 z wird 1.

Also kommen wir auf:

(cos z - 1)/ (2 cos z) = (cos z - i sin z - (cos z- i sin z)/(2i^2)

i^2=-1

0=0

05.12.2018, 12:49

MatheFredo

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Ich bin soweit, dass ich vor

(e^z-e^(-z))/2 = (e^(i^2 * z) - e^(-i^2 * z)/ (2i)

stehe

i^2= - 1

(e^z-e^(-z))/2 = (e^(-z) - e^(z))/(2i)

05.12.2018, 12:50

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RE: Identität hyperbolischer Fkt

Zitat:

e^z= cos z oder würde es lauten cos z + i * sin z

Nichts dergleichen.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} e^z=\cos(z) \end{eqnarray*}$ hat zwar unendlich viele reelle Lösungen, sie gilt aber keinesfalls für alle reellen z. Für z=a+ib ist $\begin{eqnarray*} e^z=e^a(\cos b + i \sin b) \end{eqnarray*}$
Über alles was du danach geschrieben hast, breiten wir also besser den Mantel des Schweigens.

Mach das, was in meinem vorigen Beitrag geschrieben habe und du bist in einer Zeile mit der Aufgabe durch.

Edit

Zitat:

i= - 1

ist jetzt nicht dein Ernst Forum Kloppe

Forum Kloppe

05.12.2018, 12:56

MatheFredo

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$\begin{eqnarray*} \frac{e^{z}-e^{-z} }{2} = \frac{e^{i^{2}*z} -e^{-i^2z} }{2i} \end{eqnarray*}$

Mein bisheriger Stand

i^2= -1

Forum Kloppe

Forum Kloppe

05.12.2018, 12:59

URL

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Woher kommt diese Gleichung?

05.12.2018, 13:01

MatheFredo

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Der Term auf der linken Seite ist der sinh z

der Term auf der rechten Seite ist der sin (iz)

müsste aber auf der rechten Seite im Nenner nicht ein i noch stehen, also 2i^2

weil man sin(iz)/i beweisen soll?

05.12.2018, 13:03

URL

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Ja, müsste es

05.12.2018, 13:13

MatheFredo

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Ich komme auf

(e^a*(cosb+isinb)-1)/(2*e^a(cos b + i sin b) = (1-e^a(cosb+isinb)/(-2*e^a(cosb+isinb)

0=0 w.A.

?

05.12.2018, 13:14

MatheFredo

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Ich komme auf

(e^a*(cosb+isinb)-1)/(2*e^a(cos b + i sin b) = (1-e^a(cosb+isinb))/(-2*e^a(cosb+isinb)

0=0 w.A.

So etwa?

Ich habe für e^z= e^a(cosb+isinb)

e^(-z)=1/(e^a(cosb+isinb))

eingesetzt.

05.12.2018, 13:26

URL

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Was du da schreibst ist grauenhaft zu lesen. Benutze Latex!
Und es ist alles viel zu kompliziert.
$\begin{eqnarray*} \sin(iz)=\frac{e^{i(iz)}-e^{-i(iz)}}{2i}=\frac{e^{-z}-e^{z}}{2i}=-\frac{e^{z}-e^{-z}}{2i}=\frac{-1}{i}\sinh(z) \end{eqnarray*}$

05.12.2018, 13:29

MatheFredo

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damit hätte man bereits bewiesen, dass sinh z = sin (iz)/i ist?

05.12.2018, 13:35

URL

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Natürlich

05.12.2018, 13:40

MatheFredo

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Was wäre dann an meinem vorigen Beitrag falsch?

wennn ich e^a(cos b + i b ) entsprechend einsetze?
Und muss bei dir nicht im Nenner aufgrund von sin (iz)/ i ein weiteres i stehen?

05.12.2018, 13:45

URL

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Ich weiß nicht, ob das alles richtig war, was du gemacht hast. Es ist in der Form einfach unglaublich mühsam zu lesen. Und es ist auf jeden Fall viel zu umständlich.
Im Nenner wovon sollte ein i stehen?

05.12.2018, 13:53

MatheFredo

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Zitat:

Original von URL
Was du da schreibst ist grauenhaft zu lesen. Benutze Latex!
Und es ist alles viel zu kompliziert.
$\begin{eqnarray*} \sin(iz)=\frac{e^{i(iz)}-e^{-i(iz)}}{2i}=\frac{e^{-z}-e^{z}}{2i<b>*i}</b>=-\frac{e^{z}-e^{-z}}{2i}=\frac{-1}{i}\sinh(z) \end{eqnarray*}$

05.12.2018, 14:00

URL

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Dir muss man wirklich alles vorkauen. Zwei Möglichkeiten
- du formst die Gleichung, die ich dir hingeschrieben habe, so um, dass deine Behauptung da steht
- du fängst mit sin(iz)/i an versuchst die Behauptung auf dem Weg selbst zu zeigen
Ich empfehle dir dringend, beides zu machen.

05.12.2018, 14:21

MatheFredo1

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Ich weiss, aber immer noch nicht, wie man, die Gleichung, die Du mir gegeben hast nach der Behauptung umformen soll.

Könntest Du mir einen Tipp geben?

05.12.2018, 14:26

URL

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Ich gebe dir den Tipp, nochmal nachzudenken. Um es mal ganz klar zu sagen: Das ist eine triviale Umformung, die man im Hochschulbereich einfach können muss.

05.12.2018, 14:45

MatheFredo1

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-1/i = (-e^z - e^z)

-1/i = ( -e^z - e^)/(2i

-1/i = -2e^0/(2i)= -2/2i = -1/i

Ich versuche es ... Hammer

Hammer

05.12.2018, 14:47

MatheFredo

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Zitat:

Original von MatheFredo1

Edit:

-1/i = (-e^z - e^z)

-1/i = ( -e^z - e^z)/(2i)

-1/i = -2e^0/(2i)= -2/2i = -1/i

Ich versuche es ... Hammer

Hammer

05.12.2018, 14:49

URL

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Das ist leider vollkommener Unfug.
du sollst hier $\begin{eqnarray*} \sin(iz)=\frac{-1}{i}\sinh(z) \end{eqnarray*}$ anfangen.

05.12.2018, 15:00

MatheFredo

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sin (iz) = -1/i sinh (z)

sin(iz)= (e^(-z)-e^z)/(2i^2)

sinh (z)= (e^z-e^(-z))/2

(e^(-z)-e^z))/(2i^2) = -1/i * (e^(z)-e^(-z))/(2)

Un nun äquivalent umformen?

05.12.2018, 15:01

URL

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Auf der linken Seite von $\begin{eqnarray*} \sin(iz)=\frac{-1}{i}\sinh(z) \end{eqnarray*}$ fehlt dir vermutlich ein i im Nenner. Also warum multiplizierst du nicht einfach die Gleichung mit 1/i ?

05.12.2018, 15:04

MatheFredo

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(-e^(-z)-e^(z))/2= (- e^z-e^(-z))/2

(kommutativ)
q.e.d?

05.12.2018, 15:15

URL

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Das ist einfach nur Blödsinn. Von mir aus auch kommutativer Blödsinn.
Warum versuchst du nicht einfach mal das zu tun, was ich schon seit geraumer Zeit vorschlage? Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 1/i

Was studierst du eigentlich, wenn ich mal fragen darf.

05.12.2018, 15:18

MatheFredo

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Physik und es handelt sich um die Vorlesung Mathematische Methoden für Physiker

05.12.2018, 15:28

MatheFredo

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sin (iz)/i = -1/i sinh (z) /*1/i

sin (iz)/i^2 = -1/i^2 * sinh (z)

- sin (iz) = sinh (z)

?

05.12.2018, 15:29

HAL 9000

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Ich gebe zu, die drei Threadseiten nur sehr oberflächlich gelesen zu haben, vielleicht ist mir da doch das eine oder andere entgangen. Trotzdem stelle ich mal die ketzerische Frage:

Auf Basis welcher Definitionen von $\begin{eqnarray*} \sin(z) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sinh(z) \end{eqnarray*}$ soll denn der Nachweis hier überhaupt erbracht werden? Der Definitionen per Potenzreihe? verwirrt

verwirrt

Das hier jedenfalls

Zitat:

Original von MatheFredo
Es gilt sin $\begin{eqnarray*} {\varphi} \end{eqnarray*}$ = 1/(2i)* (e^(iphi)-e^(-iphi))

Folglich sin (iz)= 1/(2i)*(e^(i(iz))- e^(-i(iz))

scheint mir hochgradig unseriös: Da folgerst du (vermutlich aus der Eulerschen Formel herkommend) aus einer erstmal nur für reelle $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bekannten Formel, dass die auch für alle $\begin{eqnarray*} \varphi=iz \end{eqnarray*}$ gilt... geschockt

geschockt

05.12.2018, 15:37

MatheFredo

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Ja, auf Basis der Potenzreihe.

05.12.2018, 15:38

URL

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Was zum Teufel machst du denn jetzt wieder? böse

böse

Woher kommt die erste Gleichung? Warum steht auf der linken Seite im Nenner ein i?

@HAL: Tu dir das lieber nicht an

Edit: Ich habe dir vorgerechnet, dass $\begin{eqnarray*} \sin(iz)=\frac{-1}{i}\sinh(z) \end{eqnarray*}$ gilt.
Diese Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 i \end{eqnarray*}$ multipliziert ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(iz)}{i}=\frac 1 i \frac{-1}{i}\sinh(z)=\sinh(z) \end{eqnarray*}$ . Das wäre schon alles gewesen.

05.12.2018, 15:42

HAL 9000

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@URL

Ich hab nur gesehen, dass hier wild losgerechnet wurde, ohne dass deutlich das "Fundament" benannt wurde. Das kam mir schon etwas seltsam vor, bedeutet aber nicht, dass ich hier irgendwas "übernehmen" will. smile

smile

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