Flussintegral (Normalenvektor einer Kugeloberfläche)

05.12.2018, 18:56	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Flussintegral (Normalenvektor einer Kugeloberfläche) Hey Leute Der Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ durch die Fläche $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ kann berechnet werden durch $\begin{eqnarray} \iint\limits_K \vec{v}\cdot\vec{N}\,\mathrm{d}o \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec{N} \end{eqnarray}$ der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor ist. Mit $\begin{eqnarray} \vec{x}=(x,y,z)^\top \end{eqnarray}$ ist jetzt der Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec{v}=\frac{\vec{x}}{\|\|\vec{x}\|\|^3} \end{eqnarray}$ durch folgende Kugeloberfläche gesucht: $\begin{eqnarray} K=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\, x^2+y^2+z^2=1\right\} \end{eqnarray}$ Mein Problem ist jetzt folgender Schritt in der Musterlösung: $\begin{eqnarray} \iint\limits_K\vec{v}\cdot\vec{N}\,\mathrm{d}o = \iint\limits_K \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac32}}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\,\mathrm{d}o=\dots \end{eqnarray}$ Wieso ist der Normaleneinheitsvektor jetzt $\begin{eqnarray} \vec{N}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \vec{N}=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac12}}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?? Danke schon mal für eure Zeit

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