Achill und die Schildkröte

05.12.2018, 21:10	besbes	Auf diesen Beitrag antworten »
Achill und die Schildkröte Meine Frage: Aufgabe: Achill läuft mit der Schildkröte um die Wette, diese habe zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t_{0} = 0 \end{eqnarray}$ einen Vorsprung von 1000 Metern, Achill läuft 8,5m/s, die Schildkröte 0,5m/s. Wann und wo holt Achill die Schildkröte ein? Sei $\begin{eqnarray} t_{1} \end{eqnarray}$ der Zeitpunkt zu dem Achill am Startpunkt der Schildkröte ist, $\begin{eqnarray} t_{n+ 1} \end{eqnarray}$ der Zeitpunkt zu dem Achill an der Stelle ist, wo die Schildkröte zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t_{n} \end{eqnarray}$ war. Sei $\begin{eqnarray} T_{n}= t_{n+1} - t_{n} \end{eqnarray}$ . Man zeige, die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } T_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert. Man bestimme den Wert der Reihe. Ist meine Lösung richtig oder muss ich noch was beachten? Meine Ideen: Achill $\begin{eqnarray} t_{0} = 0 \end{eqnarray}$ -> also $\begin{eqnarray} 0\in \mathbb R \end{eqnarray}$ (mit 8,5m/s) Schildkröte $\begin{eqnarray} 1000\in \mathbb R \end{eqnarray}$ (mit 0,5m/s) Achill ist also $\begin{eqnarray} f_{1}(t) = 8,5\cdot t \end{eqnarray}$ und die Schildkröte $\begin{eqnarray} f_{2}(t) = 1000+ 0,5\cdot t \end{eqnarray}$ also ist die Gleichung $\begin{eqnarray} f_{1}(t)= f_{2}(t) \end{eqnarray}$ zu lösen. 1000+0,5t=8,5t \|-0,5t 1000=8t \| :8 125=t Nach 125 Sekunden hat Achill die Schildkröte eingeholt und hat zu diesem Zeitpunkt $\begin{eqnarray} 8,5\cdot 125=1062,5 \end{eqnarray}$ m zurückgelegt für $\begin{eqnarray} t_{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8,5\cdot t_{n+1} =1000+0,5\cdot t_{n} \| 8,5<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_{n+1}= \frac{2000}{17}+\frac{0,5}{17}\cdot t_{n} <br /> \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} t_{n+1}= \frac{2000}{17}+\frac{1}{17}\cdot t_{n} \leq \frac{2000}{17} + \frac{1}{17}\cdot 125=125 \end{eqnarray}$ Der Wert der Reihe ist demnach $\begin{eqnarray} T_{n} = 125 \end{eqnarray}$
06.12.2018, 09:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Berechnungsmethode umgeht das Problem des klassischen Paradoxon. Du sollst nicht mit physikalischen Gleichungen die alten Griechen austricksen, du sollst mit der Berechnung des Grenzwerts einer unendlichen Reihe die alten Griechen austricksen. Das Paradoxon lebt gerade davon, dass jeder vernünftige Mensch auch im Altertum wusste, dass Achilles die Schildkröte einholen und überholen wird. Aber damals gab es keine Analysis, keine Grenzwerte, keine unendlichen Reihen, keine reellen Zahlen, das Unendliche war geheimnisvoll, unheimlich und noch bis ins 19. Jahrhundert verboten. Giordano Bruno wurde im Jahre des Herrn 1600 verbrannt, weil er behauptete, es gäbe unendlich viele Unendlichkeiten. C. F. Gauß: "So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welches in der Mathematik niemals erlaubt ist." Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, hat mit seinem Pfarrer gesprochen, bevor er gewagt hat, seine gotteslaesterlichen Ideen über die Unendlichkeiten zu veröffentlichen. Mit dem Schnittpunkt von 2 Geraden kannst Du das Problem des Unendlichen nicht lösen, dass 2 Geraden einen Schnittpunkt haben wusste Euklid auch.
06.12.2018, 13:00	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
psychologisch entsteht das Paradoxon daher, dass gedanklich jeweils ein kurzer zeitlicher Stopp eingelegt wird. Wenn du jetzt tatsächlich eine - auch winzige - Stoppzeit einlegst, dann holt der Achilles die Schildkröte niemals ein. Irgendwann besteht das Fortkommen so gut wie nur noch aus einer Kette von Wartezeiten. Optisch "frieren" die Kontrahenten ein. Ungefähr so wie wenn man den Fall in ein schwarzes Loch beobachtet.
06.12.2018, 13:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Alice von außen beobachtet, wie Bob in ein schwarzes Loch fällt, dann sieht das für Alice so aus, als ob Bob sich dem Ereignishorizont immer langsamer annähert, ohne ihn zu erreichen. Wenn Bob fähig wäre, seinen eigenen Fall in das schwarze Loch zu beobachten, würde er ungebremst und mit zunehmender Geschwindigkeit durch den Ereignishorizont in das schwarze Loch fallen. Ich wüsste zu gern, was Bob danach beobachten könnte, wenn er fähig wäre, etwas zu beobachten. Das werden wir aber nie erfahren, weil Bob keine Nachrichten nach außen senden kann. Für Achilles und die Schildkröte schlage ich vor, die Stoppzeiten als Nullfolge $\begin{eqnarray} (\frac 1{2^n}sec) \end{eqnarray}$ auszulegen, dann kommt die Aufholjagd (nach 1 sec Stillstandszeit) auch psychologisch zu einem guten Ende - gut für Achilles, schlecht für die Schildkröte, die als Abendessen dient (oder wurden Schildkröten schon im Altertum von den Griechen geachtet und geschont ?).

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