Beweis zu Wohldefiniertheit von Verknüpfungen bei Äquivalenzklassen

06.12.2018, 13:17

Tobias83

Beweis zu Wohldefiniertheit von Verknüpfungen bei Äquivalenzklassen

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe, insbesondere bei b. Die c habe ich mir nich nicht endgültig angeschaut.
Es sei V ein K-Vektorraum und U $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ V ein Untervektorraum. Auf V definieren wir eine
Relation $\begin{eqnarray*} \equiv _U \end{eqnarray*}$ durch
v $\begin{eqnarray*} \equiv _U \end{eqnarray*}$ w $\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ v - w $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U.
(a) Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation auf V ist.
Für v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von v mit [v] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$ und die Menge aller
Äquivalenzklassen mit V /U. Weiter definieren wir auf V /U die folgende Addition und
skalare Multiplikation.
[v] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$ + [w] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$ := [v + w] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$ für alle v, w $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ [v]U := [ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ v]U für alle v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V, $\begin{eqnarray*} \lambda \in \end{eqnarray*}$ K
(b) Zeigen Sie, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind.
(c) Zeigen Sie, dass V /U mit diesen Verknüpfungen wieder ein K-Vektorraum ist

Hier meine Lösung zu a)
reflexiv: zz. v $\begin{eqnarray*} \equiv _U \end{eqnarray*}$ v
Sei v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U dann gilt v-v=0 und 0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U da U ein Untervektorraum ist
symmetie: zz: v $\begin{eqnarray*} \equiv _U \end{eqnarray*}$ w $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ w $\begin{eqnarray*} \equiv _U \end{eqnarray*}$ v
Sei v,w $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U dann gilt v-w $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$
v-w= -w+v =-1(w-v). Da U ein Untervektorraum ist, ist U unter Skalarermultiplikation und Addition abgeschlossen daraus folgt dass w-v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und dass -1(w-v) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U
transitiv: zz: v $\begin{eqnarray*} \equiv _U \end{eqnarray*}$ w und w $\begin{eqnarray*} \equiv _U \end{eqnarray*}$ z $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} \equiv _U \end{eqnarray*}$ z
Sei v,w[,zlatex]\in[/latex]U dann gilt v-w $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und w-z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U
b=w-z $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ b+z=w
a=v-w $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a=v-(b+z) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a+b=v-z
Da a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ v-z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U

Zu b) habe ich folgende Idee:
ich will zeigen dass: [v + w] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$ die relations Eigenschaften erfüllen. Da bin ich mir nicht sicher ob es überhaupt richtig ist und wie ich es aufschreibe.
Die c werde ich mir jetzt anschauen und ggf. Fragen stellen.

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar

06.12.2018, 13:34

10001000Nick1

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RE: Beweis zu wohlefiniertheit von Verknüpfungen bei Äquivalenzklassen
Sieht gut aus. Ein kleiner Hinweis zu deiner $\begin{eqnarray*} v_1\in [v]_U, w_1\in[w]_U \end{eqnarray*}$ Formulierung:

Zitat:

Original von Tobias83
Sei v,w[,zlatex]\in[/latex]U dann gilt v-w $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und w-z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U

Da meinst du sicherlich: "Seien $\begin{eqnarray*} v,w,z\in\color{red}{V} \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} v-w\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w-z\in U \end{eqnarray*}$ ".
Den Beweis könnte man dann etwas kürzer so aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} v-z=\underbrace{(v-w)}_{\in U}+\underbrace{(w-z)}_{\in U}\in U \end{eqnarray*}$

Ich finde, die Einführung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verwirrt mehr, als dass sie hilft. Aber das ist sicherlich Geschmackssache. Augenzwinkern

In b) wurden Addition und Skalarmultiplikation für die Äquivalenzklassen definiert; dabei hat man jeweils einen Vertreter aus den Äquivalenzklassen benutzt. Du sollst zeigen, dass das Ergebnis von der speziellen Wahl des Vertreters unabhängig ist; man also den Vertreter durch einen anderen aus derselben Äquivalenzklasse ersetzen kann und das Ergebnis dasselbe bleibt.

Bei der Addition ist zu zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} v_1\in[v]_U, w_1\in [w]_U \end{eqnarray*}$ , dann liegen $\begin{eqnarray*} v+w \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1+w_1 \end{eqnarray*}$ in derselben Äquivalenzklasse; es gilt also $\begin{eqnarray*} [v+w]_U=[v_1+w_1]_U \end{eqnarray*}$ .

06.12.2018, 14:47

Tobias83

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Zitat:

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Da meinst du sicherlich: "Seien v,w,z∈V mit der Eigenschaft, dass v−w∈U und w−z∈U".
Den Beweis könnte man dann etwas kürzer so aufschreiben:

Ja die erste eckige Klammer beim Anfang des Latexbefehls ist verrutscht. Wobei ich wohl für meine Beweise die Element aus V wählen muss und nicht aus U.

Bei der b habe ich mir mal die Äquivalenzklassen als Mengen notiert. Das sieht so aus
[v] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$ ={ u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ |v-u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U}
[w] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$ ={ u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ |w-u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U}

Dann ist ja v,x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [v] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$ und w,z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [w] $\begin{eqnarray*} _U \end{eqnarray*}$
Also wäre v+w = v-u+w-u = v+w-2u und x+z = x-u+z-u = x+z-2u. Dies setze ich nun Gleich
und hätte v+w-2u= x+w-2u $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ v+w=x+z. Mit den Voraussetzungen
v,w,x,z folgt doch nun das v+w und x+z in der selben Klasse sind

06.12.2018, 14:55

10001000Nick1

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Warum sollte $\begin{eqnarray*} v+w=v-u+w-u \end{eqnarray*}$ gelten? Das ist (außer im Fall $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ ) falsch.
Du musst nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v+w \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+z \end{eqnarray*}$ gleich sind (das ist im Allgemeinen ebenfalls falsch), sondern dass sie in derselben Äquivalenzklasse liegen. Schreib dir dazu vielleicht erstmal auf, was das überhaupt bedeutet.

10.12.2018, 09:14

Tobias83

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Ich habe das ganze Wochenende nachgedacht wie eine solche Äquivalenzklasse aussehen kann.
Da Äquivalenzklassen Disjunkt sind können es ja keine Untervektorräume sein. Deswegen
bin ich eigentlich immer zu dem Ergebnis gekommen, dass es sich um Affine Teilräume handeln muss.
Z.B. $\begin{eqnarray*} [0]_U \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ]_U \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ]_U \end{eqnarray*}$ .....
Nun wurden die affinen Räume noch nicht in der Vorlesung eingeführt, also darf ich sie nicht benutzen.

Wenn ich nun hergehe und einfach sage:
$\begin{eqnarray*} v,v_1\in [v]_u \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \neq v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w,w_1\in [w]_u \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w \neq w_1 \end{eqnarray*}$ Dann gilt ja für
$\begin{eqnarray*} [v]_u+[w]_u = [v+w]_U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [v_1]_u+[w_1]_u = [v_1+w_1]_U \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun die Gleichheit zeigen will brauche ich ja soetwas:
$\begin{eqnarray*} [v+w]_U = [v_1+w_1]_U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [v]_U+[w]_U = [v_1]_U+[w_1]_U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [v]_U-[v_1]_U = [w_1]_U-[w]_U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [v-v_1]_U = [w_1-w]_U \end{eqnarray*}$
Da nun $\begin{eqnarray*} v,v_1 \in [V]_U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w,w_1 \in [W]_U \end{eqnarray*}$ stehen die jeweiligen Vertreter in Relation also muss auch die Addition in der verschiedenen Vertreter in Relation stehen.
Ich hoffe ich bin nun auf dem richtigen Weg

10.12.2018, 22:29

10001000Nick1

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Ja, die Äquivalenzklassen sind affine Teilräume, die parallel zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen. Ob man nun weiß, dass die Räume so heißen oder nicht, ist hier eigentlich egal. Man muss sich nur an die Definition der Äquivalenzrelation halten.

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} [v+w]_U=[v_1+w_1]_U \end{eqnarray*}$ gilt, muss man nicht die vier Gleichungen zeigen, die du hingeschrieben hast, sondern wie oben schon gesagt, dass $\begin{eqnarray*} v+w \equiv_U v_1+w_1 \end{eqnarray*}$ . Denn das ist ja eine der Eigenschaften einer Äquivalenzrelation: Zwei Elemente, die zueinander in Relation stehen, "erzeugen" dieselbe Äquivalenzklasse.
Und das bedeutet nun, dass du zeigen musst: $\begin{eqnarray*} (v+w)-(v_1+w_1)\in U \end{eqnarray*}$ . Jetzt eine Idee, wie du das machen kannst?
(Beachte dabei, aus welchen Äquivalenzklassen die einzelnen Vektoren stammen.)

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