Gradient

07.12.2018, 22:40

Mesut95

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Gradient

Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Ich bin etwas verwirrt. Es geht um den gradienten.
So wie wir es in Analysis 2 gelernt haben ist der Gradient für Skalarfelder definiert:

Beispiel für Kartesiche Koordinaten im 2 Dimensionalen: (d/dx1,d/dx2).

Jetzt kommen einige Bilder die bei mir für Verwirrung gesorgt haben und ich hoffe das wird das hier klären können. Die Bilder sind vom Buch ?Differentialgeometrie? Christian Bär.

Meine Ideen:
Zunächst einmal zum Beispiel 4.2.2:
Hier wird ein Vektorfeld als Gradienten definiert. Der Gradient einer Skalaren Funktion ist ja auch ein Vektorfeld so verstehe ich das zumindest.

Allerdings verstehe ich dann nicht die Darstellung des gradienten in Beispiel 4.2.3.

In der Definition 4.2.4 taucht wieder der Begriff gradient auf.
Ist die Aufgabe 4.8 mit dem normalen Gradienten den man aus der Analysis 2 Vorlesung kennt lösbar ?

08.12.2018, 09:54

URL

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RE: Gradient verwirrung
In Beispiel 4.2.2 ist der Vektor v(p) durch die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} d_pf(X)=I(v(p),X) \end{eqnarray*}$ definiert. Durch $\begin{eqnarray*} p\mapsto v(p) \end{eqnarray*}$ wird ein Vektorfeld definiert und dieses Vektorfeld nennt Bär dann das Gradientenvektorfeld.
Über die Darstellung eines Vektorfeldes schreibt Bär im Absatz nach Beispiel 4.2.2. Diese Darstellung verwendet er dann in Beispiel 4.2.3 für das Gradientenvektorfeld.

08.12.2018, 11:15

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Hallo URL und danke für die Antwort.

Kann man einfach so den gradienten berechnen in Aufgabe 4.8 so wie man diesen aus der Analysis 2 kennt ? Ich glaube nicht, da wir nicht den Koordinatenraum als Defintionsbereich von f haben. Wie berechnet man es aber sonst wenn man eine Zylinderfläche hat?

08.12.2018, 11:17

URL

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RE: Gradient verwirrung
Ich würde mich strikt an die Definitionen halten, die Bär gemacht hat.
Wie hat er denn $\begin{eqnarray*} d_pf(X) \end{eqnarray*}$ definiert, das er in Beispiel 4.2.2 benutzt?

08.12.2018, 11:28

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Die Definition ist wie folgt:

Mir ist das echt ein Rätsel verwirrt

verwirrt

08.12.2018, 11:33

URL

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RE: Gradient verwirrung
Dann verstehe ich die rechte Seite in $\begin{eqnarray*} d_pf(X)=I(v(p),X) \end{eqnarray*}$ nicht. Ich dachte, das wäre das Skalarprodukt der beiden Tangentialvektoren v(p) und X, also eine Zahl.
Nach dem was du gefunden hast, wäre $\begin{eqnarray*} d_pf(X) \end{eqnarray*}$ ein Tangentialvektor.
Außerdem ist hier f eine skalarwertige Funktion, keine Abbildung zwischen Flächen.
Also was ist $\begin{eqnarray*} I(v(p),X) \end{eqnarray*}$ ?

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08.12.2018, 11:42

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Mit I( v, X) hast du Recht. Das ist die erste Fundamentalform (siehe Bild).

08.12.2018, 11:45

URL

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RE: Gradient verwirrung
Am Ende von Kapitel 3.2 erklärt er das Differential $\begin{eqnarray*} d_pf \end{eqnarray*}$ für den Fall $\begin{eqnarray*} f:S\to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

08.12.2018, 11:55

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Aber in wie fern hilft uns das weiter ? verwirrt

verwirrt

In Beispiel 4.2.2 ist f eine skalare Funktion wie du schon gesagt hattest.

08.12.2018, 12:01

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
In Beispiel 4.2.2 steht ja eigentlich nichts anderes als: (siehe Bild von Wiki).

Trotzdem verwirrt mich das etwas mit dem Gradienten... Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher das dieser nicht der ist den man aus der Analysis 2 kennt..

08.12.2018, 12:01

URL

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RE: Gradient verwirrung
n=1 !?

Zitat:

ch bin mir eigentlich ziemlich sicher das dieser nicht der ist den man aus der Analysis 2 kennt..

Das ist vermutlich einer der Gründe, warum Bär von dem Gradientenvektorfeld redet und du von dem Gradienten. Das sind erstmal völlig verschiedene Dinge.

08.12.2018, 12:28

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Für n=1 hätte man doch dann den Gradienten verwirrt

verwirrt

Naja der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld , daher dachte ich das v=: grad f stimmen muss. v nennt man dann Gradientenvektorfeld.. verwirrt

verwirrt

08.12.2018, 12:32

URL

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RE: Gradient verwirrung
Für n=1 hat man die benötigte Definition des Differentials $\begin{eqnarray*} d_pf \end{eqnarray*}$ für den Fall $\begin{eqnarray*} f:S\to\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .
Die Definition ist genau anders herurm: $\begin{eqnarray*} v=:\text{grad}\, f \end{eqnarray*}$

08.12.2018, 12:48

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Ich verstehe die Definition nicht. Da steht $\begin{eqnarray*} d_{p}f(X):=D_{p}f(X) \end{eqnarray*}$ wobei das große D für die Jacobi Matrix steht..

Ich verstehe leider noch nicht den Ansatz den du machen möchtest..

Wir haben ja die Formel der Richtungsableitung gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} d_{p}f(X)=I(gradf(p),X_{p}) \end{eqnarray*}$ .

Ich könnte die Aufgabe 4.8 mit $\begin{eqnarray*} d_{p}f(X) \end{eqnarray*}$ lösen. Ich würde aber auch gerne wissen wie man diese mit $\begin{eqnarray*} I(gradf(p),X_{p})= <grad f, X> \end{eqnarray*}$ löst.
Hier bin ich mir aber nicht sicher ob man den Gradienten so ausrechnet wie man ihn aus der Analysis 2 kennt.

08.12.2018, 13:06

URL

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RE: Gradient verwirrung

Zitat:

Original von Mesut95
Ich verstehe die Definition nicht. Da steht $\begin{eqnarray*} d_{p}f(X):=D_{p}f(X) \end{eqnarray*}$ wobei das große D für die Jacobi Matrix steht..

Das ist für den Fall $\begin{eqnarray*} f:U\to S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb{R^n} \end{eqnarray*}$ .

Wie haben es hier mit einer gänzlich andersartigen Funktion f zu tun, nämlich $\begin{eqnarray*} f:S\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wobei S eine reguläre Fläche ist. Und dafür hat Bär in der Bemerkung am Ende von Kap 3.2 extra eine Definition von $\begin{eqnarray*} d_pf \end{eqnarray*}$ mit Hilfe einer glatten Kurve c gegeben.
Mit dieser Definition von $\begin{eqnarray*} d_pf \end{eqnarray*}$ erklärt er das Gradientenvektorfeld und damit dann die Richtungsableitung.

Zitat:

Hier bin ich mir aber nicht sicher ob man den Gradienten so ausrechnet wie man ihn aus der Analysis 2 kennt.

Nochmal: Es geht hier um das Gradientenvektorfeld, nicht um den Gradienten der Analysis Forum Kloppe

Forum Kloppe

Halte dich an die Definitionen, vergiss jetzt Ana2

08.12.2018, 13:27

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
In der Bemerkung steht:

Man kann auch für glatte Abbildungen $\begin{eqnarray*} f: S \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , die auf einer regulären Fläche S definiert sind, aber ihre Werte in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ annehmen, und $\begin{eqnarray*} p \in S \end{eqnarray*}$ das Differential

$\begin{eqnarray*} d_{p}f: T_{p}S \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

durch

$\begin{eqnarray*} d_{p}f(X):= \frac{d}{dt}(f \circ x)\vert_{t=0} \end{eqnarray*}$ definieren, wobei $\begin{eqnarray*} c<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> -\epsilon,\epsilon) \to S \end{eqnarray*}$ eine glatte parametrisierte Kurve ist mit c(0)=p und c'(0)=X.

Okay das habe ich jetzt verstanden. Es ist doch aber immer noch ein Rätsel wie
$\begin{eqnarray*} I(grad f(p), X_{p}) \end{eqnarray*}$ in der Definition der Richtungsableitung berechnet wird.. Das Problem liegt eindeutig an grad f(p), dieser wird als Gradientenvektorfeld definiert doch wie sieht das nun aus Hammer

Hammer

08.12.2018, 13:31

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
hä warum wird ein teil meiner Formel so komisch angezeigt

08.12.2018, 13:37

URL

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RE: Gradient verwirrung
Mach Leerzeichen um den Doppelpunkt, dann klappt es vermutlich mit der Formel. Vorschau-button nicht vergessen

Ok, dann haben wir jetzt also für den vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} d_pf (X) \end{eqnarray*}$ verstanden.
Das Gradientenvektorfeld $\begin{eqnarray*} \text{grad}\,f(p):=v(p) \end{eqnarray*}$ wird jetzt durch die Beziehung $\begin{eqnarray*} d_pf(X)=I(v(p),X) \end{eqnarray*}$ definiert.
Wenn du also ein konkretes Gradientenvektorfeld sehen willst, musst du eins ausrechnen. Aufgabe 4.8 bietet sich da an.
Für $\begin{eqnarray*} f=f_1 \end{eqnarray*}$ wie in Aufgabe 4.8 komme ich auf das konstante Gradientenvektorfeld $\begin{eqnarray*} \text{grad}\,f(p)=(1,0,0)^T \end{eqnarray*}$
Alles ohne Gewähr, ich beschäftige mich seit gestern zum ersten Mal mit dem Thema Big Laugh

Big Laugh

08.12.2018, 13:51

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Kein Problem mir ist es wichtig das ich mit jemanden darüber diskutieren kann und im besten Fall können wir ja zusammen etwas lernen Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x,y,z)=x \end{eqnarray*}$ , das bedeutet dann:

grad f(p)= $\begin{eqnarray*} (\frac{df_{1}}{dx},\frac{df_{1}}{dy},\frac{df_{1}}{dz}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \end{eqnarray*}$ .

hast du es auch so berechnet ?

Falls ja: Das ist doch dann genau der Gradient den man kennt.

Ich glaube aber das man das nicht immer so berechnen darf, aber wann man es nicht darf ist mir ein Rätsel Big Laugh

Big Laugh

Wenn du auch zufällig das Buch vor dir hast: In Beispiel 4.2.3 wird der Gradient als
$\begin{eqnarray*} grad(f)= \sum\limits_{j=1}^{} \xi^{j}(p)\frac{dF}{du_{j}} \end{eqnarray*}$ dargestellt. Vllt sollten wir diese Darstellung benutzen verwirrt

verwirrt

08.12.2018, 14:00

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RE: Gradient verwirrung
Ich komme auf das Ergebnis, aber wie hast du es berechnet?
Die hemdsärmlige Rechnung $\begin{eqnarray*} \text{grad}\,f=\nabla f \end{eqnarray*}$ funktioniert immer dann, wenn man f von der Fläche S auf eine offenen Teilmenge $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ fortsetzen kann. Denn dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}(f\circ c)=\nabla f \cdot \dot{c} \end{eqnarray*}$ nach der Kettenregel (Analysis 2 Augenzwinkern

Augenzwinkern

) also $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}(f\circ c)|_{t=0}=\nabla f (p) \cdot X \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} c(0)=p, \dot{c}(0)=X \end{eqnarray*}$

08.12.2018, 14:20

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Aha langsam verstehe ich es! Tolles Gefühl danke Big Laugh

Big Laugh

Ich kam auf das Ergebnis indem ich einfach den Gradienten von $\begin{eqnarray*} f_{1}(x,y,z)=x \end{eqnarray*}$ gebildet habe (siehe oben).

Nachdem was du geschrieben hast bedeutet das also:

Zitat:

wenn man f von der Fläche S auf eine offenen Teilmenge $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ fortsetzen kann.

Den Gradienten von f können wir nur so $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ berechnen weil nach Aufgabe $\begin{eqnarray*} S \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gilt, denn dann befinden wir uns im Koordinatenraum Stimmt das ?

Was ist aber wenn die Fläche S keine Teilmenge von R^n ist oder wir keine Information bekommen ob S auf einer offenen Teilmenge U c R^n fortsetzbar ist ? Wie berechnet man dann I( grad f(p), Xp) bzw. grad f(p)?

08.12.2018, 14:33

URL

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RE: Gradient verwirrung
Es geht, weil $\begin{eqnarray*} S\subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und f fortsetzbar.
Allerdings habe ich gerade das Problem, dass $\begin{eqnarray*} (1,0,0) \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht in $\begin{eqnarray*} T_pS \end{eqnarray*}$ liegt.

Ohne zusätzliche Informationen und Fortsetzbarkeit nutzt man die Definitionen aus: Man nimmt eine beliebige Kurve $\begin{eqnarray*} c : (-\varepsilon, \varepsilon) \to S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c(0)=p, \dot{c}(0)=X \end{eqnarray*}$ . Die Vektoren $\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ haben jeweils drei Komponenten $\begin{eqnarray*} c(t)=(c_1(t),c_2(t),c_3(t)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=(X_1,X_2,X_3) \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} f(x,y,,z)=x \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} (f\circ c)(t)=c_1(t) \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}(f\circ c)(t)=\dot{c}_1(t) \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} d_pf(X)=\frac{d}{dt}(f\circ c)|_{t=0}=\dot{c}_1(0)=X_1 \end{eqnarray*}$ .
Das Gradientenvektorfeld muss also nach Definition $\begin{eqnarray*} I(v_p,X)=X_1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} X\in T_pS \end{eqnarray*}$ erfüllen. Hieraus habe ich $\begin{eqnarray*} v(p)=(1,0,0) \end{eqnarray*}$ geschlossen. Das mag der Fehler sein.

Vermutlich ist das auch der Fehler im hemdsärmligen $\begin{eqnarray*} \text{grad}\,f=\nabla f \end{eqnarray*}$ . Man wird $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ in einen Teil senkrecht zu $\begin{eqnarray*} TpS \end{eqnarray*}$ und einen parallel zu $\begin{eqnarray*} T_pS \end{eqnarray*}$ zerlegen müssen. Den parallelen Teil sucht man.

08.12.2018, 14:55

Mesut95

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RE: Gradient verwirrung
Kannst du mir vllt ein link senden wo ich mir das mit der fortsetzbarkeit nochmal durchlesen kann ? Wäre echt nett.

Also meinst du das (1,0,0) falsch ist ? verwirrt

verwirrt

Wie siehst du das (1,0,0) nicht in TpS liegt ?

Wenn (1,0,0) falsch ist kann man es also doch nicht mit $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ berechnen ? verwirrt

verwirrt

08.12.2018, 15:05

Finn_

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Die Metrik $\begin{eqnarray*} I=g \end{eqnarray*}$ lässt sich schönfinkeln:
$\begin{eqnarray*} \Phi_p\colon T_p M\to T_p^* M,\quad\Phi_p(v)(w) := g_p(v,w). \end{eqnarray*}$
Das $\begin{eqnarray*} \Phi_p \end{eqnarray*}$ ist ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen, also eine bijektive lineare Abbildung. Warum ist das so? Lässt sich das auf andere Bilinearformen verallgemeinern?

Der Gradient lässt sich nun auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} (M,g) \end{eqnarray*}$ so definieren:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}_p f := \Phi_p^{-1}(d_p f). \end{eqnarray*}$

Das ist die Lösung der Gleichung
$\begin{eqnarray*} g_p(\operatorname{grad}_p f,v) = (d_p f)(v). \end{eqnarray*}$

Wenn man eine lokale Karte hat, ist auch eine konkrete Berechnung des Gradienten möglich. Man bestimmt einfach das totale Differential und hebt dann die Indizes mit der Darstellungsmatrix des inversen metrischen Tensors. Denn $\begin{eqnarray*} v^\flat := \Phi(v) \end{eqnarray*}$ ist das Senken der Indizes und $\begin{eqnarray*} \omega^\sharp := \Phi^{-1}(\omega) \end{eqnarray*}$ das Heben. Bezüglich einer lokalen Karte $\begin{eqnarray*} \varphi(u) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi\colon U\to M \end{eqnarray*}$ gilt nämlich
$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\omega) = \sum_{j=1}^n g^{ij}\omega_i \mathbf e_j \end{eqnarray*}$
wobei
$\begin{eqnarray*} \mathbf e_j = \frac{\partial\varphi}{\partial u_j} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \omega = \sum_{k=1}^n \omega_i \mathrm dx^i. \end{eqnarray*}$
Im Ricci-Kalkül schreibt man dafür einfach:
$\begin{eqnarray*} \omega^j = g^{ij}\omega_i. \end{eqnarray*}$
Also ergibt sich
$\begin{eqnarray*} (\operatorname{grad}_p f)^j = g^{ij}(p)\frac{\partial f}{\partial x_i}(p). \end{eqnarray*}$
Um es noch einmal deutlich zu machen, $\begin{eqnarray*} g^{ij}(p) \end{eqnarray*}$ ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basen, die durch die lokale Karte $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ am Punkt $\begin{eqnarray*} p=\varphi(u) \end{eqnarray*}$ induziert werden. Die Basisvektoren des Tangentialraums sind die partiellen Ableitungen der lokalen Karte.

08.12.2018, 15:22

Finn_

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Um der Verwirrung vorzubeugen, noch eine Ergänzung zu meiner Nomenklatur: Mit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ meine ich einen Vektor aus $\begin{eqnarray*} T_p M \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Vektorfeld, und mit $\begin{eqnarray*} X_p \end{eqnarray*}$ dieses Vektorfeld am Punkt $\begin{eqnarray*} p\in M \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} v=X_p \end{eqnarray*}$ gilt. Man kann abweichend davon aber auch $\begin{eqnarray*} X=v \end{eqnarray*}$ setzen, wenn Vektorfelder noch nicht explizit vorkommen.

08.12.2018, 16:05

Mesut95

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Hallo Finn und danke für die Antwort. smile

smile

Bevor ich auf dein Beitrag näher eingehe möchte ich verstehen was du mir erklären möchtest. Möchtest du mir erklären wie man den Gradienten berechnet, wenn der Definitionsbereich von f NICHT der Koordinatenraum ist und man diesen zusätzlich wie @URL schrieb nicht auf einer Offenen Teilmenge U c R^n fortsetzen kann?

Ich würde gerne mal ein paar dinge geklärt haben:

- Ist es nun so das man grad f = $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ berechnen kann, wenn S cR^3 ist und f fortsetzbar ist ? (wie sieht man das f fortsetzbar ist?)

- Ist es dann Richtig wenn man Aufgabe 4.8 so $\begin{eqnarray*} I(grad (f_{1}),X(x,y,z))= < (1,0,0), (-y,x,0) >=-y \end{eqnarray*}$ berechnet?

- Wenn man keinerlei Informationen hat ob es eine Offenen Teilmenge gibt, sodass f darin fortsetzbar ist so rechnet man mit der Definition von dp weiter ODER kann den Gradienten berechnen wie @Flynn es beschrieben hat, denn dann ist der Definitionsbereich von f nicht der Koordinatenraum??

Ist das so richtig ?

Zu deinem Beitrag:

Woher weiß du das auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) der Gradient so definiert ist ? Woher hast du das (würde es auch gerne lesen) ?

SO du hast nun die Formel definiert für den Gradient

$\begin{eqnarray*} grad_{p}f:=\Phi_{p}^{-1}(d_{p}f) \end{eqnarray*}$

wie kommst du von dieser auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} g_{p}(grad_{p}f,v)=(d_{p}f)(v) \end{eqnarray*}$ ? Insbesondere frag ich mich von wo v kommt ?

Den Rest den du aufgeschrieben hast verstehe ich überhaupt nicht. unglücklich

unglücklich

08.12.2018, 16:34

Finn_

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Die Aufgabe ist zumindest schon einmal richtig gestellt. Es müssen $\begin{eqnarray*} X(p),Y(p)\in T_p S \end{eqnarray*}$ liegen für $\begin{eqnarray*} p\in S \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} S=S^1\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Der Definitionsbereich ist natürlich auf $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eingeschränkt. Dieser lässt sich über Zylinderkoordinaten angeben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t\\ z\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$
Es ergibt sich nun
$\begin{eqnarray*} X(x,y,z) = \begin{pmatrix}-\sin t \\ \cos t\\ z\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$
Da der Tagentialraum immer parallel zur z-Achse liegt, ist $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nun unerheblich. Das heißt, es muss
$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}-\sin t \\ \cos t\end{pmatrix}\in T_p S^1 \end{eqnarray*}$
sein für jedes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Das ist natürlich der Fall, denn $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ ist Parametrisiert durch
$\begin{eqnarray*} F(t) = \begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und es gilt nun
$\begin{eqnarray*} v = F'(t). \end{eqnarray*}$
Weil $\begin{eqnarray*} v=F'(t) \end{eqnarray*}$ definitionsgemäß der Tangentialvektor am Punkt $\begin{eqnarray*} F(t)\in S^1 \end{eqnarray*}$ ist, gilt $\begin{eqnarray*} v\in T_p S^1 \end{eqnarray*}$ .

Auch für
$\begin{eqnarray*} Y(x,y,z) = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist die z-Komponente wieder unerheblich. Demnach muss
$\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\in T_p S^1 \end{eqnarray*}$
sein. Der Nullvektor ist natürlich in jedem Vektorraum enthalten.

08.12.2018, 16:41

Mesut95

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Warum gehst du nicht auf meine Fragen ein ? verwirrt

verwirrt

08.12.2018, 16:56

Finn_

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Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} g((\operatorname{grad} f)(p),X) = (d_p f)(X) \end{eqnarray*}$
steht im Bär in Beispiel 4.2.2 als Definition von $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad} f \end{eqnarray*}$ .

Die Gleichung kann man aber einfach nach $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad} f \end{eqnarray*}$ umstellen, wie ich beschrieben habe.

Dass $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, hängt damit zusammen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht ausgeartet ist. Bezüglich einer lokalen Karte soll die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ doch an jedem Punkt invertierbar sein. Die Darstellungsmatrix ist aber nichts anderes $\begin{eqnarray*} g_{ij} \end{eqnarray*}$ . Die Nichtausartung einer symmetrischen Bilinearform ist gerade so definiert, dass man beim Schönfinkeln eine bijektive Abbildung erhält.

08.12.2018, 17:09

Mesut95

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Hmm okay.
Ich hab ja verstanden das man die Aufgabe 4.8 mit dem differential berechnen kann und wie das geht verstehe ich auch, aber was ist mit I( grad f(p), Xp)?
Wenn ich grad f so berechne wie ich es aus der Analysis 2 kenne komme ich exakt auf das selbe Ergebnis... warum ist das so?
Das ist dann so wegen den was URL In seinem Beitrag um 14:00uhr erklärt hat oder ? Und die Formel was du gezeigt hast benutzt man wenn der Definitionsbereich von f nicht der Koordinatenraum ist stimmts ?

08.12.2018, 17:21

Finn_

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Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}_p f = \sum_{k=1}^n \mathbf e_k(p) \frac{\partial f}{\partial x_k}(p) \end{eqnarray*}$
gilt unter der Voraussetzung, dass (die Koordinatendarstellung von) $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die identische Abbildung ist. Der metrische Tensor $\begin{eqnarray*} g_{ij} \end{eqnarray*}$ wird dann zur Einheitsmatrix.

Im Allgemeinen gilt
$\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}_p f = \sum_{i=1}^n \mathbf e_i(p) \sum_{j=1}^n g^{ij}(p) \frac{\partial f}{\partial x_j}(p). \end{eqnarray*}$

Es gibt für grad die beiden Schreibweisen
$\begin{eqnarray*} (\operatorname{grad}_p f)(v) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (\operatorname{grad} f)(p)(v) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} p\in M \end{eqnarray*}$ ein Punkt und $\begin{eqnarray*} v\in T_p M \end{eqnarray*}$ ein Vektor ist.

08.12.2018, 17:34

Finn_

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Zitat:

Hmm okay.
Ich hab ja verstanden das man die Aufgabe 4.8 mit dem differential berechnen kann und wie das geht verstehe ich auch,

Ja, man kann einfach rechnen:
$\begin{eqnarray*} (df)(X) = \sum_{k=1}^n (df)_k X^k = \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_k} X^k, \end{eqnarray*}$
denn es gilt
$\begin{eqnarray*} \mathrm dx^i(\mathbf e_j) = \delta_{ij}. \end{eqnarray*}$

Das nennt sich duale Paarung von $\begin{eqnarray*} df \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

aber was ist mit I( grad f(p), Xp)?
Wenn ich grad f so berechne wie ich es aus der Analysis 2 kenne komme ich exakt auf das selbe Ergebnis... warum ist das so?

Wie schauen denn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_{ij} \end{eqnarray*}$ in diesem Fall aus?

08.12.2018, 17:44

Mesut95

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Okay danke für die Informationen Freude

Freude

Echt sehr interessant was du hier erzählst geschockt

geschockt

Das ist dein Gebiet man merkt das!

Ich möchte viel mitnehmen deswegen frage ich soviel Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} g_{ij} \end{eqnarray*}$ sind doch die Einträge der Matrix des 1.Fundamentalform. In diesem Fall muss man doch die 1.Fundamentalform von der Parametrisierung F berechnen oder ? Und Phi weiß ich nicht verwirrt

verwirrt

WO kann man das alles nachlesen was du schreibst ?

08.12.2018, 18:36

URL

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Einen link zur Fortsetzbarkeit kann ich dir nicht geben. Es ist halt im Fall von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ aus Aufgabe 4.8 offensichtlich, dass man sie zu einer differenzierbaren Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ fortsetzen kann.

(1,0,0) ist sicher falsch. Das sieht man schon daran, dass zur Berechnung die Fläche S überhaupt nicht benutzt wird. Wäre es richtig, dann wäre $\begin{eqnarray*} \text{grad}\,f(p)=(1,0,0)^T\in T_pS \end{eqnarray*}$ für alle Punkte p auf allen Flächen S. Das ist offenbar Unfug. Man kann nach meiner Meinung das Gradientenvektorfeld mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ berechnen, indem man $\begin{eqnarray*} \nabla f=(1,0,0)^T \end{eqnarray*}$ eben wie gesagt auf $\begin{eqnarray*} T_pS \end{eqnarray*}$ projiziert.

Ich bin hier raus, Finn_ fühlt sich allem Anschein nach berufen.

08.12.2018, 19:00

Finn_

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Eine kleine Unachtsamkeit von mir noch: Man muss aufpassen wonach man genau ableitet. Denn wenn eine Koordinatendarstellung betrachtet wird, muss man zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch eine Koordinatendarstellung betrachten. Für eine lokale Karte $\begin{eqnarray*} \varphi\colon U\to V\subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\colon M\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt dann
$\begin{eqnarray*} \tilde f\colon U\to\mathbb R,\; \tilde f = f\circ\varphi. \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine abstrakte Mannigfaltigkeit ist, dann kann die gar nicht angegeben werden. Demnach lässt sich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch nicht angeben. Das ist nur für die lokale Darstellung $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ möglich, die auf einer Teilmenge des Koordinatenraums definiert ist.

Man müsste jetzt mit der Kettenregel argumentieren. Das allein wird aber nicht ausreichen. Man benötigt noch gewisse Spitzfindigkeiten. Und wenn man nicht den genauen Durchblick in linearer Algebra hat, kann das sehr undurchsichtig werden.

08.12.2018, 19:11

Finn_

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Zitat:

WO kann man das alles nachlesen was du schreibst ?

Nun, die Hälfte steht doch schon im Bär drin. Setze $\begin{eqnarray*} g=I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi=F \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} M=S \end{eqnarray*}$ .

Sonst würde ich noch das Skript »Differentialgeometrie« von Daniel Grieser zum vergleichen empfehlen, das hat moderne Terminologie.

08.12.2018, 19:25

Mesut95

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Ok danke ich werde mir das alles gründlich durchlesen. Ich melde mich dann wieder nachts Freude

Freude

08.12.2018, 23:21

Mesut95

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Hallo hier bin ich wieder smile

smile

Wie kommt man von der letzten gleichung zu der Implikation?

Mir ist aufgefallen das du in deinem ersten Beitrag genau das für die Formel des gradienten aufgeschrieben hast ( nur ohne f welle..). Im Buch steht das, dass xi verkettet F ist verwirrt

verwirrt

Das Thema ist echt anstrengend geschockt

geschockt

08.12.2018, 23:35

Finn_

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Zunächst eine relativ einfache Überlegung, die mir aber für das Verständnis wesentlich erscheint.

Bei der dualen Paarung ist es nicht von Belang, ob nun ein Skalarfeld oder dessen Koordinatendarstellung vorliegt.

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Skalarfeld auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f\colon M\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Hat man nun eine lokale Karte $\begin{eqnarray*} \varphi\colon U\to V\subseteq M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U\subseteq\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , dann besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine lokale Darstellung gemäß $\begin{eqnarray*} \tilde f=f\circ\varphi \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x=\varphi(u) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p=\varphi(u_0) \end{eqnarray*}$ . Es gilt nun

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial\tilde f}{\partial u_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i}. \end{eqnarray*}$

Das lässt sich wie folgt einsehen. Nach der Kettenregel gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial\tilde f}{\partial u_i} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_k}(\varphi(u))\frac{\partial\varphi_k}{\partial u_i}(u) = (\mathrm d_{\varphi(u)}f)(\frac{\partial\varphi}{\partial u_i}(u)). \end{eqnarray*}$
Das ist aber die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Richtung des Basisvektors $\begin{eqnarray*} \mathbf g_i = \frac{\partial\varphi}{\partial u_i}. \end{eqnarray*}$
Die partielle Ableitung in die Richtung des Basisvektors $\begin{eqnarray*} \mathbf g_i \end{eqnarray*}$ ist aber Definitionsgemäß nichts anderes als die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ .

Demnach gilt
$\begin{eqnarray*} (d_p f)(X) = \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_k}(p) X^k(p) = \sum_{k=1}^n \frac{\partial\tilde f}{\partial u_k}(u)X^k(\varphi(u)). \end{eqnarray*}$

Merke: wenn es eine hübsche Formel gibt, dann die duale Paarung von Differential und Vektorfeld. Die Formel ist gewissermaßen in doppelter Weise hübsch. Einerseits weil man so tun kann, als läge wieder eine Orthonormalbasis vor, gemäß $\begin{eqnarray*} \mathrm dx^i(\mathbf g_j) = \delta_{ij}. \end{eqnarray*}$ Für das Standardskalarprodukt gilt ja $\begin{eqnarray*} \langle\mathbf e_i,\mathbf e_j\rangle = \delta_{ij}. \end{eqnarray*}$ Andererseits wegen
$\begin{eqnarray*} (df)(X) = \sum_k\frac{\partial f}{\partial x_k}X^k=\sum_k\frac{\partial\tilde f}{\partial u_k}X^k \end{eqnarray*}$ .

08.12.2018, 23:58

Mesut95

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Ok interessant Freude

Freude

Wie kommt man aber von der letzten Gleichung zur Implikation?
Wieso ist der Gradient bei dir genauso definiert wie im Buch die Implikation?
Im Buch steht xi verkettet F aber bei dir grad f.. verwirrt

verwirrt

PS: Danke für die Mühe und die Geduld! Big Laugh

Big Laugh

smile

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