Richtungsableitung

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08.12.2018, 00:58	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsableitung Meine Frage: Hallo nochmal. Mit $\begin{eqnarray} \partial_{X}f \end{eqnarray}$ ist die Richtungsableitung gemeint. Was bedeutet die schreibweise: $\begin{eqnarray} \partial_{X}( \partial_{Y}f) \end{eqnarray}$ ? Ich kann das nicht nachvollziehen.. Meine Ideen: Für mich sieht es so aus als soll man die Richtungsableitung einer Richtungsableitung berechnen, aber das wäre doch zwangsläufig 0.. oder sehe ich hier was falsch? Wie kann man die schreibweise noch interpretieren? Leoder habe ich keine anderen Informationen
08.12.2018, 01:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Wenn du $\begin{eqnarray} \partial_Xf \end{eqnarray}$ , dann verstehst du auch $\begin{eqnarray} \partial_Yf \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_Yf:S\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist eine glatte Funktion, also kann man $\begin{eqnarray} \partial_X(\partial_Yf) \end{eqnarray}$ bilden.
08.12.2018, 01:47	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Hallo URL und danke für die Antwort. Die Richtungsableitung ist doch eine Zahl und von einer Zahl die Richtungsableitung muss doch null ergeben
08.12.2018, 01:54	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Das war nur ein Denkfehler von mir ich habs jetzt danke
08.12.2018, 02:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Hat sich die Gradientenverwirrung auch schon geklärt?
08.12.2018, 02:17	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Nein leider nicht
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09.12.2018, 22:11	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Hallo URL könntest du mir vllt wenn du lust hast bei dieser Aufgabe helfen ? Komme irgendwie nicht auf das Ergebnis :/
10.12.2018, 13:07	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Ich möchte mal $\begin{eqnarray} \partial_{x}(\partial_{y}f) \end{eqnarray}$ berechnen. Ich denke wenn ich das hinkriege ist der Rest kein Problem. Die Lösung lautet: $\begin{eqnarray} \partial_{x}(\partial_{y}f)=\sum\limits_{ij=1}^{} \xi_{i}(\frac{d\eta}{du_{i}}\frac{d(f \circ F)}{du_{j}}+\eta_{j}\frac{d^2(f \circ F)}{du_{j}du{i}} ) \end{eqnarray}$ Mein Rechenweg: $\begin{eqnarray} \partial_{Y}f=df(Y)=df(\sum\limits_{j=1}^{} \eta_{j}\frac{dF}{du_{j}}) \end{eqnarray}$ wenden wir hier Linearität von df an: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{} \eta_{j}df(\frac{dF}{du_{j}}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{} \eta_{j}\frac{d(f\circ F)}{du_{j}} \end{eqnarray}$ So kommen wir nun zum schwierigeren Teil: $\begin{eqnarray} d (\sum\limits_{j=1}^{} \eta_{j}\frac{d(f\circ F)}{du_{j}})(\sum\limits_{i=1}^{} \xi_{i} \frac{dF}{du_{i}} ) \end{eqnarray}$ wenden wir wieder die Linearität an: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{} \xi_{i} d (\sum\limits_{j=1}^{} \eta_{j}\frac{d(f\circ F)}{du_{j}})( \frac{dF}{du_{i}} ) \end{eqnarray}$ ab hier weiß ich einfach nicht mehr weiter
10.12.2018, 14:31	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung Bitte um Hilfe.. Ich komme nicht drauf würde mich freuen wenn auch andere Helfer mir antworten.
10.12.2018, 22:41	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei wieder $\begin{eqnarray} \mathbf g_i = \frac{\partial F}{\partial u_i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde f = f\circ F \end{eqnarray}$ . Deine Rechnung ist richtig. Man kann dabei auch wieder beachten, dass die Richtungsableitung in Richtung eines Basisvektors die partielle Ableitung ist: (1) $\begin{eqnarray} \partial_X f = (\mathrm df)(X) = (\mathrm df)(\sum_{i=1}^n \xi_i\mathbf g_i) = \sum_{i=1}^n \xi_i(\mathrm df)(\mathbf g_i) = \sum_{i=1}^n \xi_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_{i=1}^n \xi_i \frac{\partial\tilde f}{\partial u_i}. \end{eqnarray}$ Demnach ist (2) $\begin{eqnarray} \partial_Y f = \sum_{j=1}^n \eta_j \frac{\partial\tilde f}{\partial u_j}. \end{eqnarray}$ Hierbei muss aber beachtet werden, dass $\begin{eqnarray} \partial_Y f \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} p=F(u) \end{eqnarray}$ abhängig ist, die rechte Seite jedoch von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ . Auf der linken Seite müsst also eigentlich $\begin{eqnarray} (\partial_Y f)\circ F \end{eqnarray}$ stehen, das ist wieder Haarspalterei. Du wiederholst jetzt den Rechenweg (1), wobei du (2) in (1) einsetzt. Das ist gar nicht nötig. Man kann (2) einfach in das Ergebnis von (1) einsetzen. Die rechte Seite von (2) wird also für $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ in Formel (1) eingesetzt: $\begin{eqnarray} \partial_X(\partial_Y f) = \sum_{i=1}^n \xi_i\frac{\partial}{\partial u_i}\left(\sum_{j=1}^n \eta_j \frac{\partial\tilde f}{\partial u_j}\right) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \xi_i \frac{\partial}{\partial u_i}\left(\eta_j\frac{\partial\tilde f}{\partial u_j}\right). \end{eqnarray}$ Unter Heranziehung der Produktregel ergibt sich nun: $\begin{eqnarray} \partial_X(\partial_Y f) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \xi_i \left(\frac{\partial\eta_j}{\partial u_i}\frac{\partial\tilde f}{\partial u_j}+\eta_j\frac{\partial^2\tilde f}{\partial u_i\partial u_j}\right). \end{eqnarray}$
12.12.2018, 03:17	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Finn, ich habe die Nachricht erst jetzt gelesen. Vielen dank für deine Hilfe ich habe es jetzt verstanden. Vielen lieben dank!
12.12.2018, 03:29	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerdings frage ich mich jetzt ob bei (1) im Vorletzten „=„ nicht das gi fehlt ? Oder wie kommst du auf die letzte Gleichung?
13.12.2018, 01:13	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Finn noch da ? Fehlt da nun noch das gi oder irre ich mich ?
13.12.2018, 01:50	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht dass ich sehen könnte. Es gilt doch $\begin{eqnarray} (\mathrm df)(\mathbf g_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i} = \frac{\partial\tilde f}{\partial u_i} \end{eqnarray}$ . Noch was. Im Ricci-Kalkül schreibt man immer $\begin{eqnarray} \xi^k\mathbf g_k \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \xi_k\mathrm dx^k \end{eqnarray}$ . Das macht man auch bei den Koordinaten in den partiellen Ableitungen so. Man würde also schreiben: $\begin{eqnarray} (\mathrm df)(\mathbf g_i) = \frac{\partial f}{\partial x^i} = \frac{\partial\tilde f}{\partial u^i} \end{eqnarray}$ .
16.12.2018, 16:43	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Achse ja danke Könntest du dir vllt auch mal mein aktuellen Beitrag anschauen, wäre echt sehr lieb von dir
23.12.2018, 23:20	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Finn eine kurze Frage warum können wir in f Welle einsetzen wir müssen doch in f einsetzen Meine aktuelle Frage ist eine ähnliche

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