Funktionalanalysis: Konvergenz in Hilbertraum

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MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionalanalysis: Konvergenz in Hilbertraum
Hallo liebe MathematikerInnen smile

Ich kämpfe gerade damit:
[attach]48481[/attach]

Meine Ideen zu a) (ich versuche es mal mit latex, bitte nicht böse sein Augenzwinkern )
" => " :
Sei
Nun gilt doch:
, denn das Skalarprodukt ist linear. Damit wäre i) gezeigt.

Ist es richtig, diesen Weg einzuschlagen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Gleichungskette ist richtig, aber ich sehe nicht, warum das wegen der Linearität des Skalarprodukts richtig sein sollte, kannst du das erläutern?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Muss es vielleicht "Stetigkeit des Skalarproduktes" heißen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre schön, wenn du nicht rätst. Das stimmt nun zwar, aber ich habe irgendwie das Gefühl, dass du einfach nacheinander Eigenschaften aufzählst, die das Skalarprodukt hat.

Überlege dir bei jedem Argument genau, wie eine bestimme Eigenschaft benutzt wird, um das gewünschte zu folgern.

Als nächstes wäre ja nun (ii) an der Reihe.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du hast natürlich völlig recht. Ich sollte es anders formulieren.

Bei der (ii):
, da bei Konvergenten Folgen gilt: .

Das ist meine Idee.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, nur muss ganz rechts stehen, nicht .

Alternativ auch hier: weil die Norm stetig ist. Im Prinzip hast du hier die Stetigkeit der Norm noch einmal selbst gezeigt.
 
 
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Ja, nur muss ganz rechts stehen, nicht .


Oh, natürlich. Danke Mit Zunge

Ich probiere mich jetzt an der Rückrichtung.
Ich habe eben mal einen langen Blick auf (b) geworfen, aber dazu fehlt mir leider völlig der Ansatz.
Aktuell sehe ich keinen Zusammenhang zur Existenz einer Teilfolge.
Ksnnst du mir sagen, in welche Richtung ich mal schauen sollte?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde an deiner Stelle (b) erstmal lassen bis du (a) fertig hast. Die Idee in (b) ist, (i) und (ii) für die Summe, die da steht, zu zeigen, daher hängen die schon zusammen.

Zur Info:

Die Beschränktheit bräuchte man nicht zusätzlich fordern, sie folgt aus (i), dann wäre allerdings die Aufgabe etwas schwerer. Alternativ bräuchte man (i) nicht fordern, da (i) für eine Teilfolge aus der Beschränktheit folgt.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hier meine Idee zur "<=":


Was aber genau dann gilt, wenn:
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was aber genau dann gilt, wenn


Warum gilt das genau dann wenn? Macht es dich nicht stutzig, dass du (i) nicht gebraucht hast?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Zitat:
Was aber genau dann gilt, wenn


Warum gilt das genau dann wenn?


Meine Idee:


Die Wurzel ist stetig, darum darf ich den limes dort reinziehen.
Beide Radikanden sind nightnegativ, daher ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt steht da . Du hattest aber die Äquivalenz zu versprochen, wo ist die? Augenzwinkern
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich hätte diese Äquivalenz jetzt einfach nochmal dahintergesetzt.
In der Hoffnung dass ich einfach nur zu eng gedacht habe:
Die Äquivalenzkette impliziert auch das geforderte
(Ich bin gerade im Zug, sorry unglücklich )
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn dein Argument dafür, dass das richtig sein sollte? Das ist doch schon wieder so eine aus der Luft gegriffene Behauptung. In diesem Fall ist sie, wie die erste in diesem Thread Mal wieder falsch. So kann man keine Mathematik betreiben. Du musst aufhören, zu raten und dich an das halten, was du weißt.

Ich kann dir heute nicht mehr helfen, ich muss jetzt weg. Entweder morgen wieder oder dir hilft heute noch jemand anders weiter.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst mir nicht zu sagen dass das aus der Luft gegriffen ist, dass weiß ich selber.
Ich will das verstehen, kann es aber nicht.
Leider dreht sich das Studium aber nicht mehr wie zu wahrscheinlich deiner Zeit um das lernen und verstehen von Stoff, sondern um das sammeln von wertlosen Punkten, die unsere Zukunft bestimmen.
Da kann man von halten was man will, ich find‘s scheiße.
Schade ist es vor allem, dass man die Mathematik eben nicht mehr vernünftig lernen kann. Daher frage ich ja hier im Forum.
Wenn ihr „Mathematiker“ euch aber ständig einbildet „ist doch nicht so schwer, schau nochmal ins Skript, du hast ja sonst nichts zu tun“, darauf kann ich gut verzichten.
Entweder erklärst du mir also wie das geht und wohin ich gucken muss, damit ich den richtigen Weg einschlage und meine Lösung präsentiere, oder du lässt es bleiben.
Danke.

LG
Maren
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Aufgabe solltest du dir ansehen und das mit Hilfe des Skalarprodukts "ausmultiplizieren". Dann siehst du schon, wie du (i) und (ii) verwenden kannst.

Zitat:
Leider dreht sich das Studium aber nicht mehr wie zu wahrscheinlich deiner Zeit um das lernen und verstehen von Stoff, sondern um das sammeln von wertlosen Punkten, die unsere Zukunft bestimmen.


Wieso "zu meiner Zeit"? Ich habe selbst erst dieses Jahr meine Masterarbeit abgegeben und das, was du gerade lernst, habe ich vor 3 Jahren gelernt. Ich bin da also gerade erst selbst durch und kann deine Meinung nicht teilen, dass es nicht mehr um das Lernen von Stoff gehe, das ist vielleicht in anderen Studiengängen so, aber in der Mathematik geht es um nichts anderes als um Verständnis.
Wie will man eine mündliche Prüfung bestehen, wenn man den Stoff nicht versteht, Kochrezepte auswendig zu lernen, hilft vielleicht in den ersten 4 Semestern, danach ist damit Schluss.

Ich will dich mit meinen Hinweisen auch nicht blöd von der Seite anmachen, sondern dich dazu animieren, dir bei jedem einzelnen Schritt sicher zu sein, dass er richtig ist. Das ist ohne Spaß das einzige, was ein Mathematiker im Beruf nach der Uni braucht. Niemand muss außerhalb der Uni wissen, wie eine Galoisgruppe berechnet wird oder dass Hilberträume toll sind. Es geht nur darum, sich einen geschärften Verstand anzutrainieren und wenn das nicht klappt, dann war das Mathestudium glatt umsonst.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Hab ausmultipliziert.
||x_n||^2 -2*(x_n | 2) + ||x||^2

Naja ich könnte zwar den Limes bilden wie in i) aber ich sehe halt keinen Grund das zu tun. Keine Ahnung.
Es ist eigentlich auch egal ich weiß das du mir das nicht vorbeten willst. Aber manche können das halt und andere nicht. Ich gehöre leider zu der Kategorie der Menschen die das nicht können aber das interessiert die Uni halt nicht.
Und wenn man wie du zur ersten Kategorie gehört hat man natürlich immer leicht reden.
Glaub mir ich würde das gerne verstehen aber was nicht geht, geht nicht.
Banach hatte wahrscheinlich auch keine Ahnung von Stochastik.
Ich hänge jetzt schon wieder 4 Stunden an der Aufgabe weiß nicht wo mir der Kopf steht und komme mit dem Rest natürlich auch nicht hinterher. Und dann sagst du of noch, ich solle aufhören zu raten.

LG
M.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis ist richtig. Der erste Summand sieht doch ansprechend für Eigenschaft (ii) aus oder nicht?

Der nächste Summand soll wahrscheinlich 2(x_n,x) heißen, das ist aber nur richtig, wenn der Hilbertraum reell ist, andernfalls steht da .

Zitat:
Naja ich könnte zwar den Limes bilden wie in i) aber ich sehe halt keinen Grund das zu tun. Keine Ahnung.


Nunja, zu zeigen ist ja bei dieser Richtung, dass . Nun hast du diesen Ausdruck in mehrere Summanden aufgeteilt und du kennst bei jedem der Summanden den Limes durch die Eigenschaften (i) und (ii).
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Aha. Ich war in Gedanken bei der b).
Jo Danke
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die b) würde ich o.B.d.A annehmen, dass gilt, ansonsten betrachtet man die Folge stattdessen.

Du kannst zuerst zeigen, dass (i) auch für die Summe da gilt, wenn (i) für die Folge selbst gilt.
Man müsste also nur noch (ii) für die Summe zeigen bei geeigneter Wahl einer Teilfolge. Speziell muss man also eine Teilfolge finden, sodass .

Auch hier bietet es sich wieder an, die Norm zu quadrieren und "auszumultiplizieren".
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Krass, ich hab absolut keinen Schimmer.
Danke.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir ausmultiplizieren, erhalten wir .

Die erste Summe lässt sich durch die Beschränktheit der Folge in den Griff bekommen. Für die zweite Summe kannst du mit Hilfe von Eigenschaft (i) die so wählen, dass für alle . Man beachte, dass wir o.B.d.A. vorausgesetzt haben.
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