Gibt es eine monotone Funktion f : R -> R mit f(R) = R \ Q?

Neue Frage »

KatzenundOtter Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es eine monotone Funktion f : R -> R mit f(R) = R \ Q?
Meine Frage:
Hallo, ihr lieben smile

Die Frage steht schon im Titel smile

Meine Ideen:
Bisher habe ich die Vermutung, dass es keine Funktion mit dieser Eigenschaft gibt, aber es fehlt mir noch an einem richtigen Ansatz für den Beweis.

Dank schon einmal im Voraus für eure Antworten smile
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine monotone Funktion f : R ? R mit f(R) = R Q?
Schade aber auch, dass man den Titel nicht vernünftig lesen kann.
 
 
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine monotone Funktion f : R -> R mit f(R) = R \ Q?
Guten Abend !

Ich finde die Frage ja interessant, sehe aber keine Möglichkeit, darauf eine Antwort zu geben. Allerdings vermute ich, dass die eigentliche Antwort ein klares NEIN sein würde - aber ich sehe mich nicht in der Lage, dies gegenwärtig zu beweisen.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nur nach einer davon gefragt:
URL Auf diesen Beitrag antworten »

So einfach ist es leider nicht, weil sein soll und nicht nur . In deinem Beispiel ist
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Relation als Funktion = linkstotale rechtseindeutige Relation, ist mir unklar. Und von Stetigkeit ist

dabei noch gar nicht die Rede.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Jede monotone Funktion besitzt überall linksseitigen und rechtsseitgen Grenzwert. Damit kann man leicht argumentieren, warum es die Funktion nicht gibt.

Nicht monoton ist es übrigens leicht:
.
Offenbar ist dann .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe, ich hatte das falsch gelesen.
Es ist nicht erforderlich an jeder Stelle x
als Bild zu haben, was auch keine Funktion mehr wäre.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht mit und Big Laugh
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

lesen kann ich das wiederum auch nicht, zudem sieht mir 2^R ziemlich groß aus..Einfach nur
schräg
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

"Jede monotone Funktion besitzt überall linksseitigen und rechtsseitgen Grenzwert. Damit kann man leicht argumentieren, warum es die Funktion nicht gibt."

Hallo IfindU,

könntest du diese "leichte Argumentation" vielleicht doch mal kurz skizzieren ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sei so eine Funktion wie gefordert. Dann sei und . Nach Voraussetzung gilt , und dank Monotonie sind Intervalle. Weiterhin ist ein Intervall abgeschlossen; oBdA sei dies . Sei und .


Nun kann man argumentieren, dass gilt (Widerspruch) oder , ebenfalls Widerspruch.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch so argumentieren: Eine solche Funktion kann nicht konstant sein, also findet man ein Intervall [a,b] auf dem sie es nicht ist. Wenn sie dort stetig ist, nimmt sie nach dem Zwischenwertsatz auch rationale Werte an. Falls sie nicht stetig ist, hat sie eine Sprungstelle. Dann überspringt man aber auch irrationale Werte. Wegen der Monotonie können diese Werte auch sonst nicht mehr angenommen werden.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist die gleiche Argumentation. Statt "Man findet eine Stelle wo sie nicht konstant ist" habe ich bei konkretisiert. Der Widerspruch ist auch der gleiche. Bei Stetigkeit gibt es Probleme mit dem Zwischenwertsatz, und das überspringen der Werte der zweite Fall.

Als kleine Verbesserung zu meinem Beweis gestern: Es muss noch oBdA f monoton wachsend sein, und es ist natürlich .
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde einfach die formelfreie Argumentation in diesem Fall anschaulicher und leichter nachvollziehbar. Das ist aber natürlich Geschmacksfrage. Korrekt ist beides.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »