Umformung für Beweis

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Sabina16 Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung für Beweis
Es ist zu zeigen, dass wenn eine beliebige Relation Runglücklich X,X) eine Äquivalenzrelation ist, die Linkstotalität folgt.

Der Beweis ist mittels Kontraposition über ein logisches Beweisschemata zu führen, wobei das Schema aber hier jetzt keine Rolle spielt.

Was wir wissen ist:
Linkstotalität:



Wir wissen auch, dass eine Äquivalenzrelation transitiv, surjektiv und reflexiv ist, wobei gilt t(s(r(R)) (Reihenfolge ist ja wichtig.

Transitivität:

Surjektivität:

Reflexivität:



Das Ziel soll sein:
R: (X,X) ist Äquivalenzrelation daraus folgt die Linkstotalität

genau dann wenn

nicht Linkstotalität daraus folgt Runglücklich X,X) ist nicht Äquivalenzrelation

Problem:

Runglücklich X,X) ist Äquivalenzrelation muss ich irgendwie als Formel darstellen, damit ich das logische Beweisschemata anwenden kann.
Hierbei werden alle Junktoren aufgelöst und Annahmen sowie Ziele gebildet und schlussendlich alle Zile mittels der Annahmen beweisen (schrecklich).

Mir ist Bewusst, dass dieser Beweis einfach ist, aber mit diesem Schema wird es kompliziert.

Die Frage ist also, wie baue ich die Formeln der Eigenschaften für eine Äquivalenzrelation zusammen?
Ich bin für jede Antwort dankbar.

P.S. Schlussendlich will man ja zeigen, dass nicht linkstotal => nicht reflexiv, also Äquivalenzrelation => Linkstotalität
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist daran schwierig ? Wegen der Reflexivität ist jede Äquivalenzrelation offensichtlich linkstotal und rechtstotal. Wenn du damit Probleme hast, liegt das an deinem geheimgehaltenen Beweisschema.
Sabina16 Auf diesen Beitrag antworten »

Man beweist die Aussage, indem man alle Junktoren auflöst und damit Annahmen und Ziele bildet. Man löst also Schritt für Schritt alles auf und dafür benötige ich zwei Formeln, die eine besteht aus den drei Eigenschaften, nur wie baue ich diese zusammen.
Sabina16 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider hat dieses Schema keinen Namen, aber es steht unter dem Punkt "Prädikatenlogik"
Sabina16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist ein Beweis mittels Prädikatenlogik.

@Elvis Kannst du damit etwas anfangen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Prädikatenlogik ist klar, ja.



Wenn du willst, kannst du die Prädikate r,s,t,lt durch ihre Definitionen ersetzen, irgendwie wird das bestimmt ein sehr schöner Beweis im Kalkül der Prädikatenlogik.
 
 
Sabina16 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe, es schaut sehr unschön aus, jetzt muss ich nur schauen, wie ich das ganze sinngemäß auflöse.

Kann man
irgendwie reinmultiplizieren? Denn ich muss ja alle Junktoren auflösen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Allquantor kann nicht aufgelöst werden, und ein Quantor ist kein Junktor. Der Beweis gilt für alle Relationen auf einer Menge . Man könnte noch einen Quantor mehr spendieren, dann ist der Beweis gut für jede Relation auf jeder Menge

Sabina16 Auf diesen Beitrag antworten »

Laut meiner Formelsammlung kann man den Allquantor auflösen, indem man schaut ob der Allquantor im Ziel oder der Annahme steht, ich zitiere:
In der Annahme (A1) :
Wähle x , 5 mit 5 ∈ M in A1.
Annahme (A2): P(5).

im Ziel (Z1):
Sei x ∈ M in Z1.
Zu Zeigen (Z2): P(x)

Wir machen mal ein Beispiel, es wird zwar nicht aufgehen, aber damit du siehst, wie es gemacht
werden soll.

Zu Zu zeigen ist

Dann muss ich folgendermaßen vorgehen.
Auflösung der Implikation:

Annahme 1:

usw. Dieses Beispiel funktioniert zwar nicht, aber damit du mal nachvollziehen kannst wie wir es machen müssen.
ZU Zeigen 1:

Auflösen des Allquantor im Ziel:
Sei x ∈ M beliebig in Z1.
Zu Zeigen 2:
Sabina16 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry irgendwie ist beim konvertieren etwas schief gegagen

Das Beispiel:

Zu Zu zeigen ist

Dann muss ich folgendermaßen vorgehen.
Auflösung der Implikation:

Annahme 1:
Zu Zeigen 1:

Auflösen des Allquantor im Ziel:
Sei beliebig in Z1.
Zu Zeigen 2:

Und dann würde man weiter auflösen und zeigen, dass eine der Annahmen das zu Zeigende erfüllt/zeigt, was hier aber nicht funktioniert, ist nur damit du/ihr seht, wie wir es machen müssen.

Kennst du es so? Wenn ja, könntest du mir da etwas unter die Arme greifen, ich wüsste nicht wie ich mit dem Ansatz (weil der Allquantor vor allem steht) arbeiten soll.

Ich bedanke mich nochmal ganz toll für deine bisherige Hilfe
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie das hier gehen soll. Wenn du die Definitionen der Prädikate in die Aussage einsetzt kannst du vermutlich Quantoren über Elemente der Relation auflösen. Was ist das Ziel der Umformung ? Soll der kurze Beweis möglichst lang werden ?
Sabina16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Was ist das Ziel der Umformung ? Soll der kurze Beweis möglichst lang werden ?


Das Ziel soll sein es möglichst genau zu machen. Ich finde es auch nicht schön.


Zitat:
Original von Elvis
Wenn du die Definitionen der Prädikate in die Aussage einsetzt kannst du vermutlich Quantoren über Elemente der Relation auflösen.


Das Probiere ich die ganze Zeit, nur leider komme ich dabei nicht richtig klar.
Könntest du dies anhand der Reflexivität mal durchführen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Problem entsteht vermutlich dadurch, dass du alle Eigenschaften (linkstotal, reflexiv, symmetrisch, transitiv) falsch definiert hast. Wenn du das korrigierst, können wir weiter machen.
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