Rang und Basis von Kern einer Matrix

10.12.2018, 20:47

erststarter

Rang und Basis von Kern einer Matrix

Hallo zusammen,

ich sitze an folgendem Problem dran und hoffe, dass Ihr mir ein wenig Licht ins Dunkle bringen könnt.

Berechne zur Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 9 & 14 & 29 & -30\\ -1 & 3 & -2 & 7 & -2\\ 2 & -6 & -6 & -18 & 16 \\ 5 & -15 & 15 & -33 & 4 \end{pmatrix} \in Mat_{4x} (\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit dem Gauß-Algorithmus den rank(A) sowie eine Basis von $\begin{eqnarray*} Ker(A)\subset \mathbb{Q}^5 \end{eqnarray*}$ .

Lösungsansatz:

1. Bringe die Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform $\begin{eqnarray*} B\in Mat_{4x5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & -6/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -3 & 0 & 0 & 32/5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sollte ich mich hierbei nicht verrechnet haben, so ist das die reduzierte Zeilenstufenform. Sind die Zeilen noch in Treppenform zu bringen? Würden sich durch die Umsortierung der Zeilen die Bilder ändern?

2. Bestimme Rank(A): Ist die Anzahl der Pivotspalten, d.h. rank(A)=rank(B)=r=3. Mit dem Rangssatz ergibt sich die Dimension des Kerns Ker(A)=Ker(A)=5-3=2. D.h. eine Basis des Kerns besteht aus 2 Basisvektoren.

Nun besteht doch eine Basis des Kerns von A aus den ursprünglichen Spaltenvektoren der Matrix A , bei denen die korrespondierenden Spaltenvektoren der Matrix B Nicht-Pivotspalten sind.

Wäre lieb, wenn Ihr mich kurz auf die richtige Spur bringen könntet. Vielen Dank allen Helfern vorab.

Freude

VG erststarter

10.12.2018, 22:53

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RE: Rank und Basis von Kern einer Matrix

Zitat:

Sind die Zeilen noch in Treppenform zu bringen? Würden sich durch die Umsortierung der Zeilen die Bilder ändern?

Treppenform ist nicht zwingend erforderlich. Für das LGS ist die Reihenfolge der Zeilen egal. Genaueres siehe unten.
Du hast dich allerdings irgendwo verrechnet, weil $\begin{eqnarray*} \text{rank}(A)=2 \end{eqnarray*}$
Die Basis des Kerns bestimmst du einfach durch Lösen des homogenen LGS. Nach Anwendung des Gauß-Verfahrens kannst du die Lösung direkt ablesen.

Es mag helfen, ein wenig weiter auszuholen. Auf der einen Seite beschäftigt man sich mit linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \varphi:V\to W \end{eqnarray*}$ zwischen Vektorräumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .
Hat man es mit endlichdimensionalen Vektorräumen $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ zu tun, wählt man sich darin jeweils eine Basis und kann damit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ durch eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ darstellen. Wenn du Zeilen von A miteinander vertauschst, dann repräsentiert die neue Matrix eine andere Abbildung - es sei denn, du veränderst die Basis von W entsprechend, also indem du die entsprechenden Basisvektoren vertauschst. Das wird schnell eine Menge Buchhaltung.
Es gilt $\begin{eqnarray*} \dim(\varphi(V))=:\text{rank}(\varphi)=\text{rank}(A)=\dim(A(\mathbb{R}^n)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=\dim(V) \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} A(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ gleich dem Vektorraum, der von den Spalten (!) von A aufgespannt wird. Um $\begin{eqnarray*} \text{rank}(A) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, muss man also die Maximalzahl linear unabhängigen Spalten von A bestimmen. Das könnte man mit dem Gauß-Verfahren tun, das man auf die Spalten von A anwendet. Glücklicherweise ist diese Zahl gleich der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen von A (Spaltenrang=Zeilenrang). Deshalb kann man das Gauß-Verfahren auf die Zeilen von A anwenden - so wie man es vom Lösen linearer Gleichungssysteme gewohnt ist.

Auf der anderen Seite beschäftigt man sich mit linearen Gleichungssytemen, die man kompakt in der Form $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ aufschreibt. Hat man nur diesen Aspekt im Blick, kann man getrost Zeilen von A vertauschen. Es bedeutet nur, dass man zwei Gleichungen des LGS miteinander vertauscht. Das hat offenbar keinen Einfluss auf die Lösung des LGS.

11.12.2018, 11:33

Ersstarter

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Hallo, ganz lieben Dank.aber ich hab noch mal nachgerechnet und komme immer noch auf rank(A)=3. Es sind in meiner Rechnung immer noch 3 einheitsvektor-spalten.

Kam auf gleiches Ergebnis wie unten gepostet.

Wie bist du auf rank=2 gekommen? Das hätte ich nun für die dimension des kerns mit dem rangsatz errechnet.

11.12.2018, 11:43

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Ich habe Octave mit der Matrix gefüttert, die du gepostet hast. Vielleicht hat sich bei deiner Eingabe ein Fehler eingeschlichen.

11.12.2018, 13:53

Erststarter

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Hab jetzt auch rank=2 herausbekommen.wegen rangsatz ist dimension des kerns 3. Also besteht eine Basis aus 3 basisvektoren.

11.12.2018, 13:54

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11.12.2018, 14:32

Erststarter

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Kann Octave auch die reduzierte matrix ausgeben?

Sind die Positionen der linear unabhängigen vektoren in matrix B nicht die spaltenvektiren der Matrix A ,aus denen dann die Basis des Kerns entsteht?

Denn die reduzierte Matrix B hat ja zwei gleichungen mit 5 Variablen.somit überbestimmt. Es können also 3 unbestimmte frei gewählt werden.

11.12.2018, 15:30

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Man kann die Umformungen sehr leicht von Octave durchführen lassen. Das sieht z.B. so aus:

code:
1:	A(3,:)=A(3,:)+2*A(2,:)

addiert das 2fache der zweiten Zeile zur dritten.

Zitat:

Sind die Positionen der linear unabhängigen vektoren in matrix B nicht die spaltenvektiren der Matrix A ,aus denen dann die Basis des Kerns entsteht?

Das kann nicht stimmen, denn die Spalten von A sind Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ , der Kern ist Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^5 \end{eqnarray*}$ . Die genannten Spalten von A sind aber eine Basis des Bildes von A.

11.12.2018, 17:12

Erststarter

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kurzes Update bzgl. der reduzierten Stufenmatrix:

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2/5 & -6/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -3 & 0 & -39/5 & 22/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig, weil ansonsten stelle ich falschen Kern auf!

11.12.2018, 17:16

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passt

11.12.2018, 17:39

Erststarter

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Jetzt ist das zugehörige homogene Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1x_3 + 2/5x_4 -6/5x_5 = 0 \\ 1x_1 -3x_2 -39/5x_4 +22/5x_5 =0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Gleichungssystem ist überbestimmt, so dass drei Unbestimmte z.B. $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,3=1 \end{eqnarray*}$ frei gewählt werden können.

Umgeformt ergibt sich das Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1x_3 = -2/5x_4 + 6/5x_5 \\ 1x_1 =3x_2 +39/5x_4 -22/5x_5\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist damit dann der Kern als Span folgender Basisvektoren aufzufassen: $\begin{eqnarray*} Ker(A)=Ker(B)=<\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\\-2/5 \\ 6/5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 1 \\ 39/5\\-22/5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \\ 1\\-0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

Darf man den dritten Vektor nun beliebig wählen?

11.12.2018, 19:51

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Keiner der Vektoren, die du angegeben hast, liegt im Kern von A

Zitat:

so dass drei Unbestimmte z.B. $\begin{eqnarray*} x1,x2,3=1 \end{eqnarray*}$ frei gewählt werden können

Du kannst $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ frei wählen, musst aber dann $\begin{eqnarray*} x_4,x_5 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit dieser Variablen schreiben. Auf einen bestimmten Wert kannst du sie nicht setzen, wenn du den Kern bestimmen willst.

Einfacher ist folgendes: Aus dem umgeformten LGS kann man direkt $\begin{eqnarray*} x_1,x_3 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_2,x_4,x_5 \end{eqnarray*}$ ablesen. Warum also nicht die letzteren als freie Variablen wählen?
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_2+39/5x_4-22/5x_5\\x_2\\-2/5x_4+6/5x_5\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}3\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}39/5\\0\\-2/5\\1\\0\end{pmatrix} +x_5\begin{pmatrix}-22/5\\0\\6/5\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die drei Vektoren auf der rechten Seite sind eine Basis des Kerns von A

11.12.2018, 20:13

erststarter

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Vielen herzlichen Dank URL Gott

Mir ist wohl ein gewisses Grundverständnis verloren gegangen. Wenn jetzt die Basis des Bildes gesucht wäre, müsste man dann die Koeffizienten der Spalte nehmen?

Könntest du mir helfen, die Darstellungsmatrix korrekt zu "lesen" ?

Ist eine lin. Abb gegeben von $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} A_{3x4}=A_{mxn}=(\alpha_ij),i=1,...,4,j=1,...3 \end{eqnarray*}$

Dann bestimmt man das Bild einer Basis aus dem $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ indem die Basis mit der Matrix Multipliziert wird? Der Kern ist dann einfach gesagt die Menge aller Basisvektoren für die f=0 ist, d.h. hier wird nach Elementen aus dem "Definitionsbereich" gesucht.

12.12.2018, 11:07

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Deine Pivotelemente sind in der ersten und dritten Spalte. Also bilden die erste und dritte Spalte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Basis des Bildes.

Ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, dann kann man eine Basis $\begin{eqnarray*} v_1,\ldots, v_4 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ und eine Basis $\begin{eqnarray*} w_1,\ldots ,w_3 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ wählen und damit die Abbildungsmatrix bezüglich dieser Basen aufstellen. Z.B. ist $\begin{eqnarray*} f(v_1)=aw_1+bw_2+cw_3 \end{eqnarray*}$ für geeignete Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ . Diese drei Zahlen schreibt man in dieser Reihenfolge in die erste Spalte der Abbildungsmatrix. So macht man für die übrigen Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ und bekommt ein $\begin{eqnarray*} 3\times 4 \end{eqnarray*}$ Matrix.
Hat man eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ mit beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ , macht man es genauso.

Hat man umgekehrt eine $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ Matrix gegeben und betrachtet die zugehörige lineare Abbildung, und sind keine besonderen Basen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ genannt, dann verwendet man dort die kanonischen Basen.
Eine Abbildungsmatrix ist immer nur bzgl. zweier Basen definiert.

Zitat:

Der Kern ist dann einfach gesagt die Menge aller Basisvektoren für die f=0 ist

Das ist so nicht richtig. Deine Basis muss kein einziges Element des Kerns enthalten.
Es ist aber richtig, dass der Kern Teilmenge, sogar ein Untervektorraum, des Definitionsbereiches der linearen Abbildung ist.

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