f(x,y)=xy/(y^2+x^2) stetig/partiell differenzierbar

11.12.2018, 12:15	Der_Blerich	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Hi, ich wollte wissen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe. Meine Ideen: Die Funktion schaut so aus: $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y):= \frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \ne (0,0) \end{eqnarray}$ , f(0,0):=0 Es soll nun nach der Stetigkeit auf R^2 und den partiellen Ableitungen geschaut werden. Stetigkeit: x=y, also f(x,y)=f(x,x)=0.5 => nicht im Nullpunkt stetig partielle Ableitungen: $\begin{eqnarray} f_x(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}-\frac{2x^2y}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f(x,y) \ne (0,0) \end{eqnarray}$ Durch Einsetzen in den Diff. Quotienten folgt, dass $\begin{eqnarray} f_x(0,0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y(x,y) \end{eqnarray}$ analog Also ist die Funktion partiell Differenzierbar und nicht auf R^2 stetig. Stimmt das so? Und vielleicht noch eine Frage die sich auf die Anschauung bezieht. Ich habe mal ein Bild von dem Graphen der Funktion angehängt. Bezüglich f(x,x)=0.5 müsste ja eine Gerade mit z=0.5 durch alle Punkte mit x=y gehen (also von der linken Ecke im Bild bis zur rechten Ecke). Aber im Graphen selbst sieht man eine derartige Gerade nicht. Plotten solche Programme das einfach nicht weil es nur eine Gerade ist oder habe ich da anschaulich etwas missverstanden? Grüße, Der_Blerich Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
11.12.2018, 12:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnungen und Anschauung sind richtig. Übersichtlicher wird die Funktion übrigens, wenn man ebene Polarkoordinaten $\begin{eqnarray} x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi \end{eqnarray}$ einführt. Dann ist $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac 1 2 \sin(2\varphi) \end{eqnarray}$

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