Ungleichungen

11.12.2018, 23:14	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen Meine Frage: Hallo ich soll folgende Ungleichungen beweisen für x,y,z>0: $\begin{eqnarray} -24-xy-xz-yz-x^{2} -y^{2} -z^{2}+8x+8y+8z\leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+y+z-2ln(\frac{1}{8} xyz)-6\geq 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hat jemand Ideen? ich weiß nicht wie ich hier ein Minimum oder Maximum bestimmen kann.
12.12.2018, 11:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen Kandidatenpunkte für lokale Extrema findet man durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen. Mit der Hesse-Matrix kann man prüfen, ob tatsächlich ein lokales Extremum vorliegt und welcher Art es ist. Sie gibt zwar nicht immer Auskunft, aber in deinen beiden Beispielen tut sie es.
12.12.2018, 11:26	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen Wobei man der zweiten auch mit der Ungleichung $\begin{eqnarray} 1+\ln(u)\leq u \end{eqnarray}$ und dem AMGM zu Leibe rücken kann.
12.12.2018, 11:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Gleichung ist bei Vorzeichenwechsel äquivalent zu $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz-8x-8y-8z+24\geq 0 \end{eqnarray}$ . Hier kann man auch versuchen, vollständige Quadrate zu generieren, das klappt z.B. mit $\begin{eqnarray} 2(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz-8x-8y-8z+24) = (x+y+z-6)^2 + (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 \end{eqnarray}$ . @URL Mir ist nicht ganz klar, wozu du bei der zweiten Ungleichung noch AMGM brauchst: Diese von dir angeführte Ungleichung für $\begin{eqnarray} u=\frac{x}{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u=\frac{y}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u=\frac{z}{2} \end{eqnarray}$ angewandt und summiert steht das Ergebnis doch schon da.
12.12.2018, 12:43	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank ich habe beides gezeigt. Hättet ihr auch eine Idee wie man zeigen kann dass (2,2,2) die einzige Nullstelle der Funktion mit den vollständigen Quadraten von Hal ist? Das würde mir bei der nächsten teilaufgabe sehr helfen
12.12.2018, 12:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage beantwortet sich von selbst, wenn du mal wenigstens 30 Sekunden darüber nachdenkst, wann $\begin{eqnarray} (x+y+z-6)^2 + (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 \end{eqnarray}$ Null werden kann.
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12.12.2018, 12:55	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry danke habe nicht dran gedacht dass alle Summanden größer gleich 0 sind
12.12.2018, 13:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt löst HAL schon Aufgaben, bevor sie gestellt werden

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