Beweis einer Formel mithilfe des Multinomialtheorems

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Studentu Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Formel mithilfe des Multinomialtheorems
Hallo liebe Leute,

über eure Hilfe bei folgender Aufgabe würde ich mich sehr freuen, da ich leider gar nicht vorwärts komme:

Berechne den folgenden Ausdruck (für gegebene ):
.
Verwende dabei ,

sowie
.

Ich habe bislang sowohl versucht, die Summe auszuquadrieren und die einzelnen Binomialkoeffizienten als x's aufzufassen und links einzusetzen, um die Formel anzuwenden, als auch umgekehrt, die Summe der Binomialkoeffizienten mit der Summe der x's für N=2 aufzufassen und rechts in die Formel einzusetzen, um sie anzuwenden, aber recht weit bin ich jeweils nicht gekommen, weil das immer elends lange Formeln geworden sind, die sich nicht mehr wirklich vereinfachen lassen.

Darum hoffe ich auf eure Ideen! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
weil das immer elends lange Formeln geworden sind

Ich fürchte, das lässt sich nicht vermeiden...


Zunächst würde ich das Quadrat im Summenglied ausmultiplizieren und dann Tipp 2 anwenden:



Jetzt eine kleine Nebenrechnung: Für ist , für folgt hingegen



Analog folgt für der Wert

.

Dies in (*) eingesetzt ergibt sich ein netter Monsterausdruck



Wäre gut, wenn mal jemand alles sorgfältig nachkontrolliert, vielleicht ist mir ja irgendwo ein Rechenfehler unterlaufen.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nachgerechnet habe ich es nicht, aber an einem Zahlenbeispiel überprüft:



Von den möglichen Quadrupeln mit schreibe ich nur dasjenige mit auf und bestimme, wie oft der jeweilige Summand beim Permutieren der gezählt werden muß:



Jetzt die Summanden der gegebenen Summe:













Damit bekommen wir den Summenwert



Und HALs Formel ergibt:



Kann das ein Zufall sein? Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kann es immer noch sein. Aber wenn es ein Gegenbeispiel gibt, hättest du es wohl zielsicher gefunden, insofern bin ich jetzt schon mal entspannter. Augenzwinkern
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Wahnsinn, danke euch beiden!

Ich habe es bis zum Monsterausdruck mit deinen Schritten nachgerechnet.
Nun verstehe ich aber deine nächste Vereinfachung nicht. Wie kommst du vom Monsterausdruck auf den kurzen Ausdruck?

Und verwendest du irgendwo das Multinomialtheorem?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird

Zitat:
Original von Studentu

ausschließlich für den Fall genutzt, d.h.,

,

dies aber für verschiedene .
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Aja, danke!
Nur wieso geht dann der Faktor zwei vor dem letzten Summanden (wo ki-2 und kj-2 drin ist) verloren?
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sorry, es ist mir doch noch nicht ganz klar.
Was meinst du mit "für verschiedene N"? N ist ja laut Angabe eine fixe natürliche Zahl. Und ich nehme an, durch die Summierung bekommen wir dann irgendwie den Faktor M rein, aber wie genau?
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal,
vergiss bitte meine letzte Frage, die war sehr dumm.

Es ist mir nur unklar, wohin der Faktor 2 verschwindet und dann später noch der allerletzte Schritt, wie du da auf den letzten Ausdruck kommst, also wie du umformst, dass ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
Was meinst du mit "für verschiedene N"? N ist ja laut Angabe eine fixe natürliche Zahl.

Ok, dann formuliere ich es mal so: Die Formel



wird im Beweisverlauf für verschiedene genutzt, nämlich für , sowie . So verständlicher?

Die Tupelwerte entsprechen im Wesentlichen den , abgesehen von ein bzw. zwei Ausnahmen (s.o.: bzw. immer nur für ein ; in der letzten Summe zusätzlich für ein anderes ).

Zitat:
Original von Studentu
Und ich nehme an, durch die Summierung bekommen wir dann irgendwie den Faktor M rein, aber wie genau?

Es ist , wenn über eine Konstante summiert wird. Genau das passiert hier, denn jeder Summand ist gleich groß.

Zitat:
Original von Studentu
Es ist mir nur unklar, wohin der Faktor 2 verschwindet

Dasselbe in grün: In der letzten Summe wird über alle Paare mit summiert. Das sind genau Paare, demnach ist



wieder bei so einer Summation über eine Konstante .

Zitat:
Original von Studentu
also wie du umformst, dass ist?

Das ist

Zitat:
Original von Studentu
.

angewandt auf und rückwärts gelesen: Denn dann ist

.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch nochmal ganz ausführlich, die Multinomialtheoremanwendung zu erläutern, und zwar ausgehend von (*):

Zunächst mal sollte der Symmetrie wegen klar sein, dass in der -Summe jeder Summand gleich groß ist, wir können also exemplarisch den für nehmen. Dasselbe trifft für die -Summe zu, dort nehmen wir exemplarisch . Damit "befreien" wir (*) von den Summen über und :

.

Jetzt wird die Nebenrechnung eingebaut, dazu spalten wir die Summe in vier Einzelsummen auf und lassen in jeder Summe einige Summanden weg (man beachte sorgfältig, wie sich der Summationsbereich der ändert), die aufgrund der Vorbetrachtungen in der Nebenrechnung sowieso nur den Wert Null haben:

,

dabei wurde in der ersten Summe substituiert, in der zweiten , in der dritten und schließlich in der vierten . Nun sind die Terme reif für die Anwendung des Multinomialtheorems, mit Ergebnis



und weiter wie oben.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, alles ausführlich anzuschreiben! Damit habe ich nun wirklich alles bis ins kleinste Detail verstanden.
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