Reihenwerte bestimmen

12.12.2018, 14:44	reihe	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenwerte bestimmen Hallo Es geht um die Werte der beiden folgenden Reihen, das sind meine Lösungsversuche : a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=1 \ ~ \text{für} \ ~ \ n \to \infty \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+ \frac{1}{2}}{n^2(n+1)^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)^2})=\frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2})=\frac{1}{2} \cdot (1-\frac{1}{(n+1)^2})=\frac{1}{2} \ ~ \text{für} \ ~ \ n \to \infty \end{eqnarray}$ Ist das so in Ordnung ?
12.12.2018, 15:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Jepp, zwei waschechte Teleskopreihen, zumindest nachdem du sie als solche "enttarnt" hast. Formale Kritik: An vorletzter Stelle in beiden Zeilen sollte richtigerweise $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{(n+1)^2}\right) \end{eqnarray}$ stehen. Das nachgeschobene "für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ " taugt da nicht als Ersatz, das wirkt auf die ganze Zeile und verursacht da einige Irritationen (mal ist $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Summationsindex, mal Endwert ???). Alternativ ginge auch die Partialsummen-Aufschriebvariante $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^k \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} = \sum_{n=1}^k \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^k \left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) = 1-\frac{1}{\sqrt{k+1}} \to 1 \ ~ \text{für} \ ~ \ k \to \infty \end{eqnarray}$ .
12.12.2018, 15:08	reihe	Auf diesen Beitrag antworten »
Kritik verstanden, angenommen und deinen Verbesserungsvorschlag umgesetzt. Danke erneut für deine Hilfe.

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