Folgerungen konvergenter Reihen

12.12.2018, 15:37	reihe	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgerungen konvergenter Reihen Hallo Man soll die folgenden beiden Aussagen beweisen oder widerlegen für eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n \geq 0 \ ~ \forall \ ~ \ n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ a) Wenn $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray}$ konvergiert, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2 \end{eqnarray}$ Ich würde sagen das stimmt, weil wegen vorausgesetzter Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray}$ somit auch die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge sein muss, weshalb zumindest ab einem bestimmten $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} a_n<1 \ ~ \forall \ ~ \ n \geq k \end{eqnarray}$ und somit ebenso $\begin{eqnarray} a_n^2 \leq a_n \end{eqnarray}$ folgen muss. Daher ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray}$ eine konvergente Majorante für $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2 \end{eqnarray}$ und damit konvergiert auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2 \end{eqnarray}$ . b) Wenn $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2 \end{eqnarray}$ konvergiert, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray}$ Das stimmt meiner Meinung nach nicht. Ein Gegenbeispiel wäre ja schon die divergente Harmonische Reihe, also $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Passt das soweit ?
12.12.2018, 15:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Konvergente Majorante muss nicht sein, aber die Argumentation stimmt. Für n>k ist der Reihenrest eine konvergente Majorante.
12.12.2018, 15:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Essentiell für a) ist die Voraussetzung $\begin{eqnarray} a_n\geq 0 \end{eqnarray}$ . Fehlt die, ist die Aussage falsch, markantes Beispiel $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ .
12.12.2018, 18:42	reihe	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank euch beiden.

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