Volumen mittels Vektorprodukt

12.12.2018, 18:10

jugin2509

Volumen mittels Vektorprodukt

Guten Abend,
ich hätte eine Frage zu einer Herleitung aus meinem Buch. smile

Dort wird für das Volumen des Spats die Formel $\begin{eqnarray*} V=A*h=|\vec{a} \times \vec{b}|*|\vec{c}|*cos(\beta) \end{eqnarray*}$ hergeleitet.Dann wird für das Volumen auch $\begin{eqnarray*} (\vec{a} \times \vec{b})*\vec{c} \end{eqnarray*}$ bzw. im Allg. $\begin{eqnarray*} |(\vec{a} \times \vec{b})*\vec{c}| \end{eqnarray*}$ benutzt.

Das wird deswegen gemacht, weil $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ nochmal zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auftritt.

Ich verstehe irgendwie den Zusammenhang nicht.Okay die Winkel sind gleich.Sie sind aber an zwei völlig unterschiedlichen Stellen und in der zweiten Formel haben wir ein Skalarprodukt und in der ersten einfach nur Beträge von den Längen.

Ich sehe leider keine Verbindung,außer dass das Selbe rauskommt.(Habs nachgerechnet)

Würde mich über einen Tipp sehr freuen. Lehrer

13.12.2018, 00:28

mYthos

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Das Spatprodukt beinhaltet zwei Besonderheiten bzw. Tatsachen:

1.
Der Betrag des Kreuzproduktes |axb| ist gleich der Fläche des von den Vektoren a,b aufgespannten Parallelogrammes. Darin fließt bereits der Sinus des von den beiden Vektoren gebildeten Winkels ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) ein.

2.
Der durch das Kreuzprodukt gekennzeichnete Vektor steht senkrecht auf der Fläche des Parallelogrammes und dessen skalares Produkt mit dem dritten Vektor c ist das Produkt der Beträge der beiden Vektoren mal dem Cosinus des Winkels ( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ), der von axb und c eingeschlossen wird.
Die Höhe des Prismas ist nämlich die Länge der Projektion des Vektors c auf axb, und somit korrespondiert das Spatprodukt mit der Volumsformel V = G*h (Grundfläche mal Höhe).

Es ist evident, dass das das Volumen nunmehr von zwei Winkeln abhängt. Man kann es als $\begin{eqnarray*} V = |a| \cdot |b| \cdot \sin \alpha \cdot |c| \cdot \cos \beta = |a| |b| |c| \sin \alpha \cos \beta \end{eqnarray*}$ schreiben.

Ist $\begin{eqnarray*} \alpha = 90 ^{\circ} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta = 0 ^{\circ} \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich die Volumsformel für den Quader.

mY+

13.12.2018, 01:05

nottennessäi

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Winkel Beta nicht zwischen den Vektoren a und b
Hallo,
noch eine kurze Anmerkung zur falschen Erkenntnis, dass

Zitat:

[...] $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ nochmal zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auftritt.

$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ tritt nicht nochmal zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auf.
Es ist der Winkel

Zitat:

vergleiche Aussage von mYthos
( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ), der von axb und c eingeschlossen wird.

Also der Winkel zwischen der "Kante" $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ des Spats und dem Vektor, der gleich dem Vektorprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist. Der Scheitel von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist auf dem Bild bei A. Nach dem Wechselwinkelsatz ist der andere (am roten h liegende) Winkel mit Scheitel in C (also Winkel BCA), gleich groß und deshalb wurde er im Bild ebenfalls mit $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Und schon bin ich wieder heraußen.

13.12.2018, 12:05

jugin2509

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Hallo,
danke euch fürs Anschauen.
Ja der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ müsste natürlich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

1.Der Betrag des Kreuzproduktes |axb| ist gleich der Fläche des von den Vektoren a,b aufgespannten Parallelogrammes. Darin fließt bereits der Sinus des von den beiden Vektoren gebildeten Winkels ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) ein.

Das hilft mir sehr.Hier lag glaube ich mein Problem. Beim Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{n}*\vec{c} \end{eqnarray*}$ wo man das Volumen ausrechnet fließt also auch irgendwie der $\begin{eqnarray*} cos(\beta) \end{eqnarray*}$ mit ein.Wieso muss man nochmal überlegen.

Man könnte also Allg. festhalten:

$\begin{eqnarray*} |\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}| * |\vec{b}|*sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\vec{a} *\vec{b}|=|\vec{a}| * |\vec{b}|*cos(\alpha) \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$

Thx Freude

13.12.2018, 13:37

mYthos

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Zitat:

Original von jugin2509
... fließt also auch irgendwie der $\begin{eqnarray*} cos(\beta) \end{eqnarray*}$ mit ein.Wieso muss man nochmal überlegen.
...

Definitionsgemäß ist das Skalarprodukt (geometrisch) das Produkt des Betrages des ersten Vektors mit der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten.
Und die Länge der Projektion wird natürlich mittels des Cosinus berechnet.

Das Ganze ist übrigens auch vertauschbar, a.b = b.a bzw. a.(b_a) = b.(a_b), b_a bzw. a_b sind die Projektionen. Beweis mittels Analytischer Geometrie und Ähnlichkeit ..

mY+

13.12.2018, 14:20

jugin2509

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Okay ich glaube ich habe jetzt einen besseren Überblick.

Aber was bedeutet die Schreibweise mit dem Punkt.Ist das einfach nur ein "mal"? Dass das Skalarprodukt kommutativ ist,ist mir bewusst.

Grüße

13.12.2018, 14:28

mYthos

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Der Punkt bedeutet das Zeichen für die skalare Multiplikation (in der Schulmathematik). Diese ist eine äußere Verknüpfung, denn aus zwei Vektoren entsteht ein Skalar.
Wenn man dies verallgemeinen will, schreibt man dafür <a,b>, als Standardskalarprodukt im euklidischen Raum.

mY+

13.12.2018, 15:19

jugin2509

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Achso, ich kannte diese Schreibweise für das Skalarprodukt aus der Schule nicht.Dann ist alles klar.

Besten Dank euch beiden. Freude

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