Rekursive Strecken

Neue Frage »

folge Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Strecken
Hallo

Die Aufgabenstellung lautet:

Sei ein beliebiger Punkt , der den Abstand 1 vom Ursprung O hat.
Man zeichne nun ein Geradensegment ein, das rechtwinklig auf der Verbindungsstrecke zwischen O und steht, in beginnt und die Länge 1 hat.
sei dann als Endpunkt dieser Strecke definiert. Für eine beliebige natürliche Zahl n definieren wir den Punkt rekursiv:
Zeichne ein Geradensegment ein, welches rechtwinklig auf der Verbindungsstrecke zwischen O und steht, in beginnt und die Länge hat.
Der Endpunkt dieser Strecke sei dann definiert als .

Befinden sich nun alle Punkte innerhalb eines beschränkten Gebietes um O oder werden sich die Punkte mit zunehmendem n beliebig weit von O entfernen ?

Mein Ansatz bisher:

Ich habe den Sachverhalt mit Hilfe von Pythagoras als rekursive Folge geschrieben, wobei die Entfernung von O zu beschreibt und als Startwert gilt.
Offenbar ist diese Folge streng monoton wachsend.
Verstehe ich es richtig, dass ich zeigen muss, dass die Folge konvergiert, also nach oben beschränkt ist ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von folge
Verstehe ich es richtig, dass ich zeigen muss, dass die Folge konvergiert, also nach oben beschränkt ist ?

Naja, zeigen musst du nur letzteres. Der Monotonie wegen ergibt sich dann aber zwangsläufig auch Konvergenz als Nebenergebnis.
folge Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich noch eine Skizze anhängen, da keine Nachfragen bisher kamen, gehe ich mal davon aus, dass es anschaulich klar ist.
Im Prinzip ja wie eine Wurzelschnecke, nur mit immer kleiner werdender, kürzeren Kathete.

Schon mal beruhigend, dass meine Grundidee zu stimmen scheint.
Nun gut, jetzt stehe ich vor dem Problem, was ich als obere Schranke nehmen soll.
Nach ein paar Iterationen könnte man ja vermuten, dass z.B. s=2 als obere Schranke in Frage kommen könnte.

Bevor ich das versuche mit Induktion zu zeigen, würde ich es zunächst noch gerne absegnen bzw. korrigieren lassen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist übrigens noch ein Fehler:

Zitat:
Original von folge
rekursive Folge [...] Startwert

Das passt nicht zusammen, nach dieser Rechnung wäre , also undefiniert...

Womöglich meinst du mit Startwert , das würde passen. Und es führt via



direkt zur Darstellung . Angesichts von kann man auch direkt den Grenzwert angeben.
folge Auf diesen Beitrag antworten »

Alles verstanden, danke. Freude

Eine Frage noch:
Mit den "normalen" Methoden wie das Ausnutzen von und anschließendem Lösen der Gleichung nach g oder auch das Zeigen der Beschränktheit via Induktion, da kommt man hier doch auf keinen grünen Zweig oder irre ich ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von folge
Mit den "normalen" Methoden wie das Ausnutzen von und anschließendem Lösen der Gleichung nach g

Na viel Spaß beim Lösen der Gleichung nach . Augenzwinkern

Zitat:
Original von folge
oder auch das Zeigen der Beschränktheit via Induktion

Doch, das klappt schon. Entspricht eben mehr oder weniger einem Konvergenzbeweis der Reihe .
 
 
Rekursiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht Wie man auf ] kommt.
Ich komme nur auf das was Folge hat aber ich würde das einfach ab n=1 laufen lassen und nicht n=0.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rekursiv
Ich verstehe nicht Wie man auf ] kommt.

Ich auch nicht, denn darauf kommt man nicht (selbst wenn das LaTeX repariert wird).

Falls du stattdessen meinst: Das ist einfach die Rekursionsgleichung quadriert. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Rekursiv
Ich komme nur auf das was Folge hat aber ich würde das einfach ab n=1 laufen lassen und nicht n=0.

Bitte Klartext - so ist einfach nur wirres Gerede. Falls du irgendwas mit dem Folgenanfang meinst, da habe ich oben schon erläutert, warum deine Rekursion in der Kombination mit Start nicht funktioniert. Also nochmal: Entweder

a) Folgenstart und Iteration für

oder

b) Folgenstart und Iteration für

Beide Folgen beschreiben den Sachverhalt hier, sind nur einen Index gegeneinander verschoben, d.h., es ist für alle .
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »