Gruppen Ordnung von Elementen

12.12.2018, 19:31

juliie9556

Gruppen Ordnung von Elementen

Meine Frage:
G abelsche Gruppe mit $\begin{eqnarray*} a,b \in G ; |a|=m, |b|=n \end{eqnarray*}$ .
Zeige in G existiert ein Element der ORdnung kgV(m,n) existiert.

Meine Ideen:
\

12.12.2018, 19:39

Elvis

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Wenn man 2 Elemente a und b und eine Verknüpfung in G hat, drängt sich dann nicht sofort ein Verdacht auf, für welches Element von G diese Behauptung gelten sollte ?

12.12.2018, 21:51

juliie9556

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Du meinst für ab?

12.12.2018, 22:11

Elvis

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Das erscheint mir sinnvoll, weil ab hoch kgV das neutrale Element ist. Zu zeigen ist, dass die Ordnung nicht kleiner ist.

12.12.2018, 23:25

Elvis

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Ich glaube, das war falsch. Noch ein Versuch : in einer zyklischen Gruppe tritt zu jedem Teiler d der Gruppenordnung ein Element der Ordnung d auf. Abelsche Gruppen sind direktes Produkt zyklischer Gruppen. Damit muss man etwas anfangen können (hoffe ich). Gute Nacht.

13.12.2018, 00:05

Finn_

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Mit $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ kommt mir auch sofort der Gedanke, dass wenn $\begin{eqnarray*} a^m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^n=1 \end{eqnarray*}$ , dass dann auch
$\begin{eqnarray*} (a^m)^p (b^n)^q = 1. \end{eqnarray*}$
Um das zusammenfassen zu können muss nun $\begin{eqnarray*} mp=nq \end{eqnarray*}$ gelten. Dann drängt sich doch sofort der Gedanke
$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(m,n)=mp=nq \end{eqnarray*}$
auf.

Wenn man $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kleiner machen wollte, dann müsste man doch auch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ kleiner machen.

13.12.2018, 00:34

Finn_

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Zitat:

Ich glaube, das war falsch.

Hm, $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ läuft vlt. schief. Kann vlt. auch $\begin{eqnarray*} ab=1 \end{eqnarray*}$ sein, obwohl $\begin{eqnarray*} |a|=m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b|=n \end{eqnarray*}$ . Oder das Problem ergibt sich durch $\begin{eqnarray*} a^2 b=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^m b=1 \end{eqnarray*}$ oder irgendwas mit $\begin{eqnarray*} a=b^k \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , was auf's selbe hinausläuft.

Mag jemand ein hartes Gegenbeispiel bringen?

13.12.2018, 00:41

Guppi12

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Weiß jetzt nicht so genau, was du meinst. Wenn du ein Gegenbeispiel suchst, dass $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ immer klappt, dann nimm dir $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=b=1 \end{eqnarray*}$ (vorsicht, additiv geschrieben!).

13.12.2018, 01:19

Finn_

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Ich meinte ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} |ab|<\operatorname{kgV}(m,n) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} m=|a| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=|b| \end{eqnarray*}$ .

Zu $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=b=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |a|=|b|=2 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} |a+b| = 1 < 2 = \operatorname{kgV}(2,2) \end{eqnarray*}$ .

Dann haben wir wohl Einsicht.

13.12.2018, 01:32

Finn_

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Vlt. schreibt man besser ord(a) anstelle von |a|.

13.12.2018, 07:15

Elvis

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Ich hatte gestern die Idee, dass ab=1 für b=a^{-1} in zyklischen Gruppen unabhängig von Elementordnungen und Gruppenordnung, also Ordnung von ab nicht immer kgV. Deshalb habe ich den Struktursatz für abelsche Gruppen bemüht, um einen Beweis für Elemente großer Ordnung zu bekommen.

13.12.2018, 10:46

juliie9556

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Wenn wir ggt(m,n)=1 annehmen, dann ist kgV(m,n)=mn.
Betrachten wir jetzt ab dann liegt ab wieder in G und es gilt:
$\begin{eqnarray*} (ab)^{mn}=a^m b^n=1 \end{eqnarray*}$
Jetzt soll ich den allgemeinen Fall auf diesen Spezialfall reduzieren.

13.12.2018, 11:16

Elvis

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Das löst das Problem noch nicht. Wir wissen, dass in abelschen Gruppen immer $\begin{eqnarray*} (ab)^{kgV(m,n)}=a^{kgV(m,n)}b^{kgV(m,n)}=a^{mx}b^{ny}=1 \end{eqnarray*}$ gilt. Warum ist für $\begin{eqnarray*} ggT(m,n)=1 \end{eqnarray*}$ die Ordnung von $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} ord(ab)=mn=kgV(m,n) \end{eqnarray*}$ und nicht unter Umständen kleiner $\begin{eqnarray*} ord(ab)<mn=kgV(m,n) \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2018, 11:29

juliie9556

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Wir wissen: $\begin{eqnarray*} a^k=e \Leftrightarrow ord(a)|k \hspace{0.2cm} \forall k \end{eqnarray*}$ m, also haben wir:
$\begin{eqnarray*} ord(b)|ord(ab) \wedge ord(a)|ord(ab) \end{eqnarray*}$ also ord(ab) Vielfaches von n,m also:
$\begin{eqnarray*} kgV(m,n)|ord(ab) \end{eqnarray*}$
und wie du sagst gilt: $\begin{eqnarray*} ord(ab)|kgV(m,n) \end{eqnarray*}$

Dann haben wir die Gleichheit.

13.12.2018, 11:38

Elvis

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Wieso gilt ord(b)| ord(ab) und ord(a)|ord(ab) ?

13.12.2018, 13:01

juliie9556

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Aus a * b = b * a folgt mit den Potenzgesetzen zunächst (a * b)^(x*n) = a^(x*n) * b^(1-y*m) = b * (bm)^(-y) = b. Potenziert man diese Gleichung mit k = ord(a * b), so folgt ((a * b)x*n)k = ((a * b)^k)^(x*n) = e = b^k. Daher folgt, dass k = ord(a * b) von m = ord(b) geteilt wird.

13.12.2018, 14:48

Finn_

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Das Problem mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(ab)<\operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b)) \end{eqnarray*}$ lässt sich doch dadurch umgehen, dass man die Multiplikation erst gar nicht zulässt. Wenn $\begin{eqnarray*} G\times H \end{eqnarray*}$ das direkte Produkt der Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt
$\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}((g,h)) = \operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(g),\operatorname{ord}(h)) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} (g,h)\in G\times H \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, die gegebene Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ließe sich zerlegen in $\begin{eqnarray*} G=A\times B \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ . Dann würde doch gelten:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}((a,b)) = \operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b)) = \operatorname{kgV}(m,n) \end{eqnarray*}$

Dabei soll natürlich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (1,b) \end{eqnarray*}$ identifiziert werden. Genauer gesagt ergibt sich $\begin{eqnarray*} \varphi(a):=(a,1) \end{eqnarray*}$ als kanonischer Einbettungsmonomorphismus.

Wenn also die dargelegte Zerlegung gelänge, haben wir mit $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ein solches Element gefunden. Sofern mir kein Fehler unterlaufen ist.

13.12.2018, 22:39

juliie9556

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Was meint ihr zu meinem Vorschlag? Der Spezialfall ist gezeigt, wie "reduziere" ich jetzt den allgemeinen Fall darauf?

14.12.2018, 12:07

Elvis

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Was würden wir ohne Siegfried Bosch "Algebra" machen ?

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