Gruppen Ordnung von Elementen

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juliie9556 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Ordnung von Elementen
Meine Frage:
G abelsche Gruppe mit .
Zeige in G existiert ein Element der ORdnung kgV(m,n) existiert.

Meine Ideen:
\
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man 2 Elemente a und b und eine Verknüpfung in G hat, drängt sich dann nicht sofort ein Verdacht auf, für welches Element von G diese Behauptung gelten sollte ?
 
 
juliie9556 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst für ab?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das erscheint mir sinnvoll, weil ab hoch kgV das neutrale Element ist. Zu zeigen ist, dass die Ordnung nicht kleiner ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, das war falsch. Noch ein Versuch : in einer zyklischen Gruppe tritt zu jedem Teiler d der Gruppenordnung ein Element der Ordnung d auf. Abelsche Gruppen sind direktes Produkt zyklischer Gruppen. Damit muss man etwas anfangen können (hoffe ich). Gute Nacht.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Mit kommt mir auch sofort der Gedanke, dass wenn und , dass dann auch

Um das zusammenfassen zu können muss nun gelten. Dann drängt sich doch sofort der Gedanke

auf.

Wenn man kleiner machen wollte, dann müsste man doch auch kleiner machen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich glaube, das war falsch.


Hm, läuft vlt. schief. Kann vlt. auch sein, obwohl und . Oder das Problem ergibt sich durch oder oder irgendwas mit für ein , was auf's selbe hinausläuft.

Mag jemand ein hartes Gegenbeispiel bringen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß jetzt nicht so genau, was du meinst. Wenn du ein Gegenbeispiel suchst, dass immer klappt, dann nimm dir und (vorsicht, additiv geschrieben!).
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte ein Beispiel für , wobei und .

Zu und ist und
.

Dann haben wir wohl Einsicht.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Vlt. schreibt man besser ord(a) anstelle von |a|.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte gestern die Idee, dass ab=1 für b=a^{-1} in zyklischen Gruppen unabhängig von Elementordnungen und Gruppenordnung, also Ordnung von ab nicht immer kgV. Deshalb habe ich den Struktursatz für abelsche Gruppen bemüht, um einen Beweis für Elemente großer Ordnung zu bekommen.
juliie9556 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir ggt(m,n)=1 annehmen, dann ist kgV(m,n)=mn.
Betrachten wir jetzt ab dann liegt ab wieder in G und es gilt:

Jetzt soll ich den allgemeinen Fall auf diesen Spezialfall reduzieren.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das löst das Problem noch nicht. Wir wissen, dass in abelschen Gruppen immer gilt. Warum ist für die Ordnung von gleich und nicht unter Umständen kleiner ?
juliie9556 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen: m, also haben wir:
also ord(ab) Vielfaches von n,m also:

und wie du sagst gilt:

Dann haben wir die Gleichheit.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso gilt ord(b)| ord(ab) und ord(a)|ord(ab) ?
juliie9556 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus a * b = b * a folgt mit den Potenzgesetzen zunächst (a * b)^(x*n) = a^(x*n) * b^(1-y*m) = b * (bm)^(-y) = b. Potenziert man diese Gleichung mit k = ord(a * b), so folgt ((a * b)x*n)k = ((a * b)^k)^(x*n) = e = b^k. Daher folgt, dass k = ord(a * b) von m = ord(b) geteilt wird.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem mit lässt sich doch dadurch umgehen, dass man die Multiplikation erst gar nicht zulässt. Wenn das direkte Produkt der Gruppen und ist, dann gilt

wobei und , so dass .

Angenommen, die gegebene Gruppe ließe sich zerlegen in , wobei und . Dann würde doch gelten:


Dabei soll natürlich mit und mit identifiziert werden. Genauer gesagt ergibt sich als kanonischer Einbettungsmonomorphismus.

Wenn also die dargelegte Zerlegung gelänge, haben wir mit ein solches Element gefunden. Sofern mir kein Fehler unterlaufen ist.
juliie9556 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meint ihr zu meinem Vorschlag? Der Spezialfall ist gezeigt, wie "reduziere" ich jetzt den allgemeinen Fall darauf?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was würden wir ohne Siegfried Bosch "Algebra" machen ?
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