Rang einer Matrix

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georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Matrix
Hallo es ist eine quadratische n x n : mit Matrix die aus 2 reellen Zahlen besteht :
wenn i gleich j ist , wenn i ungleich j ist.
( Die Hauptdiagonale ist nur x, und alles andere ist y ).

man soll den Rang von A in abhängigkeit von x und y bestimmen .

ich habe das mal so :

falls ;
Rang 0 , weil Nullmatrix
bereits in Zeilenstufenform , Rang n
hier kann ich ja die 2 Zeile mit der ersten vertauschen dann ist welches ich als Piveautelement wähle, dann ist der Rest der Spalte 1 , 0.
wenn ich nun 4 Zeile mit 3 zeile Tausche bekomme ich wieder ein y als Hauptdiagonalenelement ... usw
wenn ich das fortführe komme ich auf Rang n .

bleibt mir nur noch der Fall wo : falls x=y wäre hätte man nur eine linear unabhängige Zeile ( weil alle anderen ja ident sind) dh Rang wäre 1 .

deswegen gehe ich davon aus x wäre nicht gleich y .
gibt es da vielleicht einen Trick um den Rang zu finden?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So weit stimmt alles.
Der Rang bleibt auch n, wenn (bei x,y ungleich 0,0) x ungleich y ist.
Veranschaulichen kann man dies mit einer 3- oder 4-zeiligen Matrix, - dabei enstehen niemals Nullzeilen - und erweitert dies dann auf n.
Ein anderer "Trick" ist mir nicht bekannt.

mY+
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke erstmals ,
wie meinst du das genau : es entstehen nie Nullzeilen ? Warum?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es entstehen bei der Matrixumformung immer Elemente x - y bzw. y - x und 0 in verschiedenen Spalten, sodass bei Addition und Subtraktion von Zeilen keine durchgehenden Nullen kommen.

mY+
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

achso und wenn es nicht möglich ist eine 0 Zeile zu erzeugen kann ich die Matrix in zeilenstufenform bringen , welche dann den rang n hat oder ?
geht das auch für Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren ?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rang ist genau dann kleiner als n, wenn oder
Um das zu sehen, schreibt man die gegebene Matrix als , wobei die Matrix mit lauter Einsen ist und die passende Einheitsmatrix, und betrachtet die Eigenwerte von
 
 
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp , jedoch haben wir noch keine Eigenwerte gemacht unglücklich
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Dann weißt du jetzt immerhin, wo du noch suchen musst.
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