Abbildungsmatrix orthogonaler Abbildung

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13.12.2018, 17:23	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix orthogonaler Abbildung Sei $\begin{eqnarray} (V,(-,-)) \end{eqnarray}$ euklidischer Vektorraum und $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (v,v) = 1 \end{eqnarray}$ . Betrachte $\begin{eqnarray} f_{v}: V -> V, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x -> x - 2(v,x)v \end{eqnarray}$ zeige, dass $\begin{eqnarray} f_{v} \end{eqnarray}$ orthogonal ist. Meine Überlegung war jetzt folgende. Ich stelle die Abbildungsmatrix der Abbildung auf und zeige, dass diese orthogonal ist. Dann kann ich sagen, dass auch die Abbildung orthogonal ist. Ist das so richtig? Falls das so in Ordnung ist, dann habe ich leider Probleme beim Finden der Abbildungsmatrix. Ich verstehe nicht so recht wie ich jetzt in die Abbildung meine Basis {e_1,...,e_n} einsetze.
13.12.2018, 22:10	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Endomorphismus auf einem euklidischen Vektorraum ist genau dann orthogonal, wenn die zugehörige Abbildungsmatrix (bzgl. irgendeiner Orthonormalbasis) orthogonal ist. Das wäre also eine Möglichkeit, ja. Ich würde hier allerdings vorschlagen, einfach die Definition einer orthogonalen Abbildung herzunehmen und diese zu überprüfen. Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f: V\to V \end{eqnarray}$ auf einem euklidischen Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ heißt orthogonal, wenn sie das Skalarprodukt von je zwei Vektoren nicht verändert; d.h. wenn für alle $\begin{eqnarray} x,y\in V \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} (x,y)=(f(x), f(y)) \end{eqnarray}$ . (Diese Definition kann man sogar erweitern auf Abbildungen zwischen zwei verschiedenen euklidischen Vektorräumen.) Das nachzuweisen, dürfte hier der einfachere Weg sein.
14.12.2018, 15:03	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die schnelle Antwort, aber leider habe ich noch Probleme. Ich nehme mir also $\begin{eqnarray} x,y \in V \end{eqnarray}$ und berechne dann das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} (f(x),f(y)) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f(x) = x - 2(v,x)v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(y) = y - 2(v,y)v \end{eqnarray}$ Ich verstehe leider im Moment nicht, wie ich damit jetzt das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} ((f(x),f(y)) \end{eqnarray}$ bestimme. Das ist wahrscheinlich sehr einfach, aber ich habe soetwas bisher noch nicht gesehen, sorry. Schaue ich mir f(x) an, dann ist das ja nichts anderes als der Vektor x subtrahiert mit einem Vielfachen vom Vektor v, denn (v,x) liefert mir einen Skalar zusammen mit der 2. Analog für f(y). Ich denke, ich muss auch die Eigenschaft $\begin{eqnarray} (v,v) = 1 \end{eqnarray}$ ausnutzen. Doch sehe ich gerade nicht wo und wie.
14.12.2018, 15:57	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze, dass das Skalarprodukt in beiden Argumenten linear ist.
14.12.2018, 17:47	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (f(x), f(y)) = (x-2(v,x)v, y-2(v,y)v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = xy - 2(v,y)vx - 2(v,x)vy + 4(v,x)v(v,y)v \end{eqnarray}$ Ab hier bin ich mir unsicher $\begin{eqnarray} = xy - 2(v,v)(y,x) - 2(v,v)(x,y) + 4(v,v)(v,v)(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = xy - 2(y,x) - 2(x,y) + 4(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = xy - 2(x,y) - 2(x,y) + 4(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = xy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (x,y) \end{eqnarray}$ Das scheint mir nicht richtig
14.12.2018, 18:00	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll denn dieses $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ usw. bedeuten? Da muss $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ stehen. (Genauso bei den anderen Summanden) Außerdem darfst du nicht beliebig Vektoren in den verschiedenen Skalarprodukten vertauschen, wie du es anscheinend beim zweiten und dritten Summanden gemacht hast: $\begin{eqnarray} (v,y)(v,x)\neq (v,v)(x,y) \end{eqnarray}$ .
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14.12.2018, 18:57	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Versuch: $\begin{eqnarray} (f(x), f(y)) = (x-2(v,x)v, y-2(v,y)v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (x,y) - 2(v,y)(x,v) - 2(v,x)(v,y) + 4(v,x)(v,y)(v,v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (x,y) - 4(v,y)(v,x) + 4(v,x)(v,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (x,y) \end{eqnarray}$
14.12.2018, 21:17	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »

15.12.2018, 08:37	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir

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